\(\text{det}M=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&4A\\ A&A \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} -3A&4A\\ 0&A \end{array} \right)\) (\(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(L_k\leftarrow L_k-L_{n+k}\)) et donc \(\text{det}M=\text{det}(A)\text{det}(-3A) = (-3)^n(\text{det}A)^2\).

L’idée de l’étude de \(M\) qui suit vient de l’étude de la matrice de format \(2\), \(B=\left( \begin{array}{cc} 1&4\\ 1&1 \end{array} \right)\).

Une diagonalisation rapide amène à \(B=\left( \begin{array}{cc} -2&2\\ 1&1 \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{cc} -1&0\\ 0&3 \end{array} \right)\times\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} -1&2\\ 1&2 \end{array} \right)\). Soit alors \(P\) la matrice de format \(2n\) définie par blocs par \(P=\left( \begin{array}{cc} -2I_n&2I_{n}\\ I_n&I_n \end{array} \right)\). Un calcul par blocs montre que \(P\) est inversible et que \(P^{-1}=\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} -I_n&2I_{n}\\ I_n&2I_n \end{array} \right)\) puis que

\(P^{-1}MP=\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} -I_n&2I_{n}\\ I_n&2I_n \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A&4A\\ A&A \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} -2I_n&2I_{n}\\ I_n&I_n \end{array} \right)=\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} A&-2A\\ 3A&6A \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} -2I_n&2I_{n}\\ I_n&I_n \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} -A&0\\ 0&3A \end{array} \right)\).

On pose \(N=\left( \begin{array}{cc} -A&0\\ 0&3A \end{array} \right)\). Puisque les matrices \(M\) et \(N\) sont semblables, \(M\) et \(N\) ont même polynôme caractéristique et de plus \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(N\) l’est.

Cherchons les vecteurs propres \(Z\) de \(N\) sous la forme \(Z=\left( \begin{array}{c} X\\ Y \end{array} \right)\) où \(X\) et \(Y\) sont des vecteurs colonnes de format \(n\). Sois \(\lambda\in\Cc\).

\(NZ=\lambda Z\Leftrightarrow\left( \begin{array}{cc} -A&0\\ 0&3A \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} X\\ Y \end{array} \right)=\lambda\left( \begin{array}{c} X\\ Y \end{array} \right)\Leftrightarrow -AX =\lambda X\;\text{et}\;3AY =\lambda Y\).

Par suite

\[\begin{align*}\ensuremath Z\;\text{est vecteur propre de}\;N\;\text{associé à}\;\lambda\Leftrightarrow(X\neq0\;\text{ou}\;Y\neq0)\;\text{et}\; (X\in\text{Ker}(A+\lambda I)\;\text{et}\;Y\in\text{Ker}\left(A-\frac{\lambda}{3}I\right)). \end{align*}\]

Une discussion suivant \(\lambda\) s’en suit :

1er cas. Si \(-\lambda\) et \(\frac{\lambda}{3}\) ne sont pas valeurs propres de \(A\) alors \(\lambda\) n’est pas valeur propre de \(M\).

2ème cas. Si \(-\lambda\) est dans \(\text{Sp}A\) et \(\frac{\lambda}{3}\) n’y est pas, alors \(\lambda\) est valeur propre de \(M\). Le sous-espace propre associé est l’ensemble des \(P\left( \begin{array}{c} X\\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -2X\\ X \end{array} \right)\) où \(X\) décrit \(\text{Ker}(A+\lambda I)\). La dimension de \(E_\lambda\) est alors \(\text{dim}(\text{Ker}(A+\lambda I)\).

3ème cas. Si \(-\lambda\) n’est pas dans \(\text{Sp}A\) et \(\frac{\lambda}{3}\) y est, alors \(\lambda\) est valeur propre de \(M\). Le sous-espace propre associé est l’ensemble des \(P\left( \begin{array}{c} 0\\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2Y\\ Y \end{array} \right)\) où \(Y\) décrit \(\text{Ker}\left(A-\frac{\lambda}{3}I\right)\). La dimension de \(E_\lambda\) est alors \(\text{dim}\left(\text{Ker}\left(A-\frac{\lambda}{3}I\right)\right)\).

4ème cas. Si \(-\lambda\) est dans \(\text{Sp}A\) et \(\frac{\lambda}{3}\) aussi, alors \(\lambda\) est valeur propre de \(M\). Le sous-espace propre associé est l’ensemble des \(P\left( \begin{array}{c} X\\ Y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -2X+2Y\\ X+Y \end{array} \right)\) où \(X\) décrit \(\text{Ker}(A+\lambda I)\) et \(Y\) décrit \(\text{Ker}\left(A-\frac{\lambda}{3}I\right)\). La dimension de \(E_\lambda\) est alors \(\text{dim}(\text{Ker}(A+\lambda I)) +\text{dim}\left(\text{Ker}\left(A-\frac{\lambda}{3}I\right)\right)\).

Dans tous les cas, \(\text{dim}(E_\lambda(M))=\text{dim}(E_{-\lambda}(A))+\text{dim}(E_{\lambda/3}(A))\) (et en particulier \(\text{dim}(\text{Ker}M)=2\text{dim}(\text{Ker}A)\)). Comme les applications \(\lambda\mapsto -\lambda\) et \(\lambda\mapsto\frac{\lambda}{3}\) sont des bijections de \(\Cc\) sur lui-même,

\[\begin{align*}\ensuremath A\;\text{est diagonalisable}&\Leftrightarrow\sum_{\lambda\in\Cc}^{}\text{dim}(E_{\lambda}(A)) = n\\ &\Leftrightarrow\sum_{\lambda\in\Cc}^{}\text{dim}(E_{\lambda}(A))+\sum_{\lambda\in\Cc}^{}\text{dim}(E_{\lambda}(A))= 2n\\ &\Leftrightarrow\sum_{\lambda\in\Cc}^{}\text{dim}(E_{-\lambda}(A))+\sum_{\lambda\in\Cc}^{}\text{dim}(E_{\lambda/3}(A))= 2n\\ &\Leftrightarrow M\;\text{est diagonalisable}. \end{align*}\]

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