L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3525

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et $\lambda \in K$ une valeur propre de $A$ telle que $\mathrm{rg}(A-\lambda I) = n-1$ .

Quelle est la dimension du sous espace propre $E_\lambda$ ?

Montrer que les colonnes de ${}^t\text{com}(A - \lambda I)$ engendrent $E_\lambda$ .

Exemple : diagonaliser $A = \begin{pmatrix} 0 & \phantom-1 & 2 \cr 1 & 1 & 1 \cr 1 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix}$ .