Commencer bien sûr par la division suivant les puissances décroissantes (la faire faire par les étudiants) : $\Phi=x+1+\Phi_1$ avec $\Phi_1={4x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$
Puis factoriser le dénominateur et faire donner le type de décomposition de $\Phi_1$ : $\begin{equation} \label{eq11} \Phi_1={A\over x^2}+{B\over x}+{C\over x-{1\over2}}. \end{equation}$ Expliquer qu’on obtient alors $A$ en multipliant les deux membres de ([eq11]) par $x^2$ et en passant à la limite quand $x$ tend vers 0 ( $A=-1$ ). On obtient de même $C$ par multiplication par $x-{1\over2}$ et calcul de la limite quand $x$ tend vers ${1\over2}$ ( $C=-2$ ). Enfin on trouve $B$ en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple $x=1$ , ou mieux en multipliant les deux membres de ([eq11]) par $x$ et en passant à la limite pour $x\to\infty$ ( $B=4$ ). Faire remarquer que pour un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire de tête en écrivant simplement les coefficients $A$ , $B$ , $C$ au fur et à mesure qu’on les obtient. ${2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}=x+1-{1\over x^2}+{4\over x}-{2\over x-{1\over2}}.$

exo7 445