Commencer bien sûr par la division suivant les puissances décroissantes (la faire faire par les étudiants) : \(\Phi=x+1+\Phi_1\) avec \(\Phi_1={4x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)
Puis factoriser le dénominateur et faire donner le type de décomposition de \(\Phi_1\) : \[\begin{equation} \label{eq11} \Phi_1={A\over x^2}+{B\over x}+{C\over x-{1\over2}}. \end{equation}\] Expliquer qu’on obtient alors \(A\) en multipliant les deux membres de ([eq11]) par \(x^2\) et en passant à la limite quand \(x\) tend vers 0 (\(A=-1\)). On obtient de même \(C\) par multiplication par \(x-{1\over2}\) et calcul de la limite quand \(x\) tend vers \({1\over2}\) (\(C=-2\)). Enfin on trouve \(B\) en identifiant pour une valeur particulière non encore utilisée, par exemple \(x=1\), ou mieux en multipliant les deux membres de ([eq11]) par \(x\) et en passant à la limite pour \(x\to\infty\) (\(B=4\)). Faire remarquer que pour un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire de tête en écrivant simplement les coefficients \(A\), \(B\), \(C\) au fur et à mesure qu’on les obtient. \[{2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}=x+1-{1\over x^2}+{4\over x}-{2\over x-{1\over2}}.\]

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