Soit $y$ une solution développable en série entière, de rayon de convergence $R$ : on note $\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ et on a $\forall x \in ]-R;R[, \qquad y'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} na_n x^{n-1} \quad \text{ et } \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.$ On a les équivalences suivantes: $\begin{align*} y \text{ solution de }(E) \ & \Leftrightarrow \ \forall x \in ]-R;R[, \ a_0+(a_2-a_1)x^2 + \sum_{n=3}^{+\infty} [(n^2-2n+1)a_n - (n^2-2n+1)a_{n-1}] x^n =0 \\ \ & \Leftrightarrow \ a_0=0 \quad \text{ et } \quad a_2=a_1 \quad \text{ et } \quad \forall n \geq 3, \ a_n=a_{n-1} \end{align*}$ On en conclut que $a_0=0$ et pour tout $n\geq 1$ , $a_n=a_1$ et donc les solutions développables en série entière au voisinage de $0$ de cette équation différentielle sont les fonctions $y_\alpha$ , avec $\alpha\in\R$ , définies par: $y(x)=\alpha \sum_{n=1}^{+\infty} x^n$ sur l’intervalle $]-1;1[$ . On peut également déterminer la fonction somme, ce qui donne $\forall x \in ]-1;1[, \qquad y(x)=\alpha x\sum_{n=0}^{+\infty} x^n=\frac{\alpha x}{1-x}.$

Séries entières solutions d'équations différentielles