Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et \(a_1=1\). On note \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\). On suppose que \(f\) est injective et que le rayon de convergence de la série entière vaut 1. On considère \(\Omega ^+=\{z\in \C\,|\, \Im z >0\}\) et \(D=\{z\in \C\,|\, |z|<1\}\).
1
Montrer que, pour tout \(z\in D\), \(f(z)\in \R\) si et seulement si \(z\in \R\).
2
Montrer que \(f(D\cap \Omega ^+)\subset \Omega ^+\).
3
Montrer que, pour tout \(|r|<1\), \(a_n=\frac{2}{\strut\pi r^n} \int_{\theta=0}^{\pi}\Im (f(re^{i\theta})) \sin (n\theta)\, d \theta\).
4
Montrer que \(|\sin (n\theta)|\le n|\sin \theta |\). En déduire que \(|a_n|\le n\).