L2 Analyse Série entière Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 4 questions

exo7 4617

Soit $(a_n)$ une suite réelle avec $a_0=0$ et $a_1=1$ . On note $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ . On suppose que $f$ est injective et que le rayon de convergence de la série entière vaut 1. On considère $\Omega ^+=\{z\in \C\,|\, \Im z >0\}$ et $D=\{z\in \C\,|\, |z|<1\}$ .

Montrer que, pour tout $z\in D$ , $f(z)\in \R$ si et seulement si $z\in \R$ .

Montrer que $f(D\cap \Omega ^+)\subset \Omega ^+$ .

Montrer que, pour tout $|r|<1$ , $a_n=\frac{2}{\strut\pi r^n} \int_{\theta=0}^{\pi}\Im (f(re^{i\theta})) \sin (n\theta)\, d \theta$ .

Montrer que $|\sin (n\theta)|\le n|\sin \theta |$ . En déduire que $|a_n|\le n$ .