Pour tout réel \(x\), \(x^2 -5x+6=(x-2)(x-3)\) et donc si \(x < 2\), \(x^2-5x+6>0\). Pour \(x\in ]-2,2[\),

\(\ln(x^2-5x+6)=\ln(2-x)+\ln(3-x)=\ln(6)+\ln\left(1-\frac{x}{2}\right)+\ln\left(1-\frac{x}{3}\right)\),

et puisque pour \(x\) dans \(]-2,2[\), \(\frac{x}{2}\) et \(\frac{x}{3}\) sont dans \(]-1,1[\),

\(\ln(x^2-5x+6)=\ln(6)-\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac {1}{3^n}\right)\frac{x^n}{n}\),

En résumé, la fonction \(f\) est développable en série entière et on vérifie avec la règle de d’Alembert que son rayon de convergence est \(R = 2\).

Développement en série entière