Remarques :

– la transformation $f \mapsto g$ est appelée transformation de Legendre. On notera $g = f^*$ ci-dessous.

– l’hypothèse $H_f$ est définie positive en tout point implique que $f$ est convexe.

Étude d’un cas particulier : $f(x) = \alpha\|x\|^2 + \beta(x\mid a) + \gamma$ avec $\alpha \in\R^{+*}$ , $\beta,\gamma\in\R$ et $a\in\R^n$ .

Alors $(x\mid y) - f(x) = - \alpha\Bigl\|x - \frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 + \alpha\Bigl\|\frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 - \gamma$ d’où $f^*(y) = \alpha\Bigl\|\frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 - \gamma = \alpha^*\|y\|^2 + \beta^*(y\mid a) + \gamma^*$ avec $\alpha^* = 1/4\alpha$ , $\beta^* = -\beta/2\alpha$ et $\gamma^* = \beta^2\|a\|^2/4\alpha - \gamma$ . Ainsi, $f^*$ a la même forme que $f$ , et on vérifie immédiatement que $f^{**} = f$ .

Cas général : on montre que $f^*$ est bien définie, vérifie les mêmes hypothèses que $f$ et que l’on a $f^{**} = f$ .

1. Bonne définition de $f^*$ : à $y$ fixé on a $(x\mid y) -f(x) \to -\infty$ lorsque $\|x\|\to\infty$ donc le sup existe et est un max, atteint en un point $x$ tel que $\nabla f(x) = y$ . Ce point $x$ est unique : en effet, si $h\in\R^n\setminus\{0\}$ alors la fonction $\R\ni t \mapsto(h\mid\nabla f(x+th))$ est strictement croissante (définie-positivité de $H_f$ ) ce qui implique $\nabla f(x+h) \ne \nabla f(x)$ . Ainsi, $f^*(y) = (y\mid y^*) - f(y^*) \text{ avec } \nabla f(y^*) = y.$

2. $f^*$ est $\mathcal{C}^2$ et $H_{f^*}$ est définie-positive : d’après ce qui précède, la fonction $\nabla f$ est un $\mathcal{C}^1$ difféomorphisme de $\R^n$ ; sa différentielle est l’endomorphisme de $\R^n$ de matrice $H_f$ dans la base canonique de $\R^n$ . Donc $f^*$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et pour $y,h\in\R^n$ : $d (f^*)_y(h) = (\nabla f^*(y)\mid h) = (h\mid y^*) + (y\mid d y^*(h)) - (\nabla f(y^*)\mid d y^*(h)) = (h\mid y^*)$ puisque $\nabla f(y^*) = y$ . On en déduit : $\nabla f^*(y) = y^*$ , puis $H_{f^*}(y) = (H_f(y^*))^{-1}$ , matrice symétrique définie positive.

3. $f^*(y)/\|y\|\to +\infty$ lorsque $\|y\|\to\infty$ : soit $a>1$ et $M_a = \sup\{f(x),\ \|x\|\le a\}$ . Pour $y\in\R^n\setminus\{0\}$ et $x=ay/\|y\|$ on a $f^*(y) \ge (x\mid y) - f(x) \ge a\|y\|-M_a\ge (a-1)\|y\|$ si $\|y\|$ est assez grand.

4. $f^{**} = f$ : car pour $x\in\R^n$ on a $f^{**}(x) = (x\mid y) - f^*(y)$ où $y$ est défini par $\nabla f^*(y) = x$ , c’est-à-dire $y^* = x$ et donc $f^{**}(x) = (y^*\mid y) - f^*(y) = f(y^*) = f(x)$ .

exo7 4189