Remarques :

– la transformation \(f \mapsto g\) est appelée transformation de Legendre. On notera \(g = f^*\) ci-dessous.

– l’hypothèse \(H_f\) est définie positive en tout point implique que \(f\) est convexe.

Étude d’un cas particulier : \(f(x) = \alpha\|x\|^2 + \beta(x\mid a) + \gamma\) avec \(\alpha \in\R^{+*}\), \(\beta,\gamma\in\R\) et \(a\in\R^n\).

Alors \((x\mid y) - f(x) = - \alpha\Bigl\|x - \frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 + \alpha\Bigl\|\frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 - \gamma\) d’où \(f^*(y) = \alpha\Bigl\|\frac{y-\beta a}{2\alpha}\Bigr\|^2 - \gamma = \alpha^*\|y\|^2 + \beta^*(y\mid a) + \gamma^*\) avec \(\alpha^* = 1/4\alpha\), \(\beta^* = -\beta/2\alpha\) et \(\gamma^* = \beta^2\|a\|^2/4\alpha - \gamma\). Ainsi, \(f^*\) a la même forme que \(f\), et on vérifie immédiatement que \(f^{**} = f\).

Cas général : on montre que \(f^*\) est bien définie, vérifie les mêmes hypothèses que \(f\) et que l’on a \(f^{**} = f\).

1. Bonne définition de \(f^*\) : à \(y\) fixé on a \((x\mid y) -f(x) \to -\infty\) lorsque \(\|x\|\to\infty\) donc le sup existe et est un max, atteint en un point \(x\) tel que \(\nabla f(x) = y\). Ce point \(x\) est unique : en effet, si \(h\in\R^n\setminus\{0\}\) alors la fonction \(\R\ni t \mapsto(h\mid\nabla f(x+th))\) est strictement croissante (définie-positivité de \(H_f\)) ce qui implique \(\nabla f(x+h) \ne \nabla f(x)\). Ainsi, \[f^*(y) = (y\mid y^*) - f(y^*) \text{ avec } \nabla f(y^*) = y.\]

2. \(f^*\) est \(\mathcal{C}^2\) et \(H_{f^*}\) est définie-positive : d’après ce qui précède, la fonction \(\nabla f\) est un \(\mathcal{C}^1\) difféomorphisme de \(\R^n\) ; sa différentielle est l’endomorphisme de \(\R^n\) de matrice \(H_f\) dans la base canonique de \(\R^n\). Donc \(f^*\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et pour \(y,h\in\R^n\) : \[d (f^*)_y(h) = (\nabla f^*(y)\mid h) = (h\mid y^*) + (y\mid d y^*(h)) - (\nabla f(y^*)\mid d y^*(h)) = (h\mid y^*)\] puisque \(\nabla f(y^*) = y\). On en déduit : \(\nabla f^*(y) = y^*\), puis \(H_{f^*}(y) = (H_f(y^*))^{-1}\), matrice symétrique définie positive.

3. \(f^*(y)/\|y\|\to +\infty\) lorsque \(\|y\|\to\infty\) : soit \(a>1\) et \(M_a = \sup\{f(x),\ \|x\|\le a\}\). Pour \(y\in\R^n\setminus\{0\}\) et \(x=ay/\|y\|\) on a \(f^*(y) \ge (x\mid y) - f(x) \ge a\|y\|-M_a\ge (a-1)\|y\|\) si \(\|y\|\) est assez grand.

4. \(f^{**} = f\) : car pour \(x\in\R^n\) on a \(f^{**}(x) = (x\mid y) - f^*(y)\) où \(y\) est défini par \(\nabla f^*(y) = x\), c’est-à-dire \(y^* = x\) et donc \(f^{**}(x) = (y^*\mid y) - f^*(y) = f(y^*) = f(x)\).

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