exo7 4035

Soit $f : \R \to \R$ convexe dérivable telle que $f(a+h) = f(a) + hf'(a) + o (h^2)$.

Démontrer que $f$ est deux fois dérivable en $a$ et $f''(a) = 0$ (comparer $f'(a+h)$ aux taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, et entre $a+h$ et $a+2h$).

Étudier le cas où $f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \frac {Lh^2}2 + o (h^2)$.