1
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que \(f(a+h) = f(a) + hf'(a) + o (h^2)\).
Démontrer que \(f\) est deux fois dérivable en \(a\) et \(f''(a) = 0\) (comparer \(f'(a+h)\) aux taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\), et entre \(a+h\) et \(a+2h\)).
Étudier le cas où \(f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \frac {Lh^2}2 + o (h^2)\).