exo7 4037

Montrer que l’équation $\tan x = x$ possède une unique solution $x_n$ dans $\left]n\pi-\frac \pi2, n\pi+\frac \pi2\right[$ $(n\in \N)$.

Quelle relation lie $x_n$ et $\arctan(x_n)$ ?

Donner un DL de $x_n$ en fonction de $n$ à l’ordre $0$ pour $n\to\infty$.

En reportant dans la relation trouvée en [relation], obtenir un DL de $x_n$ à l’ordre 2.