$(D)$ est une droite de vecteur normal $\vec n = (2,-3)$ . Le projeté orthogonal $p(M_0)$ de $M_0$ sur $(D)$ est de la forme $M_0+\lambda.\vec{n}$ où $\lambda$ est un réel à déterminer. Le point $M_0+\lambda.\vec{n}$ a pour coordonnées $(x_0+2\lambda,y_0-3\lambda)$ .

$M_0+\lambda.\vec{n}\in(D)\iff 2(x_0+2\lambda)-3(y_0-3\lambda)=5 \iff\lambda=\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}.$

$p(M_0)$ a pour coordonnées $\big(x_0+2\frac{-2x_0+3y_0+5}{13},y_0-3\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}\big)$ ou encore $p(M_0)= \big(\frac{9x_0+6y_0+10}{13},\frac{6x_0+4y_0-15}{13}\big)$ .

Le symétrique orthogonal $s(M_0)$ vérifie : $s(M_0)=M_0+2\overrightarrow{M_0p(M_0)}$ (car $p(M_0)$ est le milieu du segment $[M_0,s(M_0)]$ ) autrement dit $s(M_0)=M_0+2\lambda . \vec n$ (pour le $\lambda$ obtenu ci-dessus).

Ses coordonnées sont donc $s(M_0) = \big(x_0+4\frac{-2x_0+3y_0+5}{13},y_0-6\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}\big)$ ou encore $\big(\frac{5x_0+12y_0+20}{13},\frac{12x_0-5y_0-30}{13}\big)$ .

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