\((D)\) est une droite de vecteur normal \(\vec n = (2,-3)\). Le projeté orthogonal \(p(M_0)\) de \(M_0\) sur \((D)\) est de la forme \(M_0+\lambda.\vec{n}\) où \(\lambda\) est un réel à déterminer. Le point \(M_0+\lambda.\vec{n}\) a pour coordonnées \((x_0+2\lambda,y_0-3\lambda)\).

\[M_0+\lambda.\vec{n}\in(D)\iff 2(x_0+2\lambda)-3(y_0-3\lambda)=5 \iff\lambda=\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}.\]

\(p(M_0)\) a pour coordonnées \(\big(x_0+2\frac{-2x_0+3y_0+5}{13},y_0-3\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}\big)\) ou encore \(p(M_0)= \big(\frac{9x_0+6y_0+10}{13},\frac{6x_0+4y_0-15}{13}\big)\).

Le symétrique orthogonal \(s(M_0)\) vérifie : \(s(M_0)=M_0+2\overrightarrow{M_0p(M_0)}\) (car \(p(M_0)\) est le milieu du segment \([M_0,s(M_0)]\)) autrement dit \(s(M_0)=M_0+2\lambda . \vec n\) (pour le \(\lambda\) obtenu ci-dessus).

Ses coordonnées sont donc \(s(M_0) = \big(x_0+4\frac{-2x_0+3y_0+5}{13},y_0-6\frac{-2x_0+3y_0+5}{13}\big)\) ou encore \(\big(\frac{5x_0+12y_0+20}{13},\frac{12x_0-5y_0-30}{13}\big)\).

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