On commence par simplifier le système :

on place la ligne \(L_3\) en première position pour le pivot de Gauss ;
on réordonne les variables dans l’ordre : \(y,t,x,z\) pour profiter des lignes déjà simples.

\[\left\{ \begin{array}{rcrcrcrcl} y &+& t &+& x &+& z &=& 0 \\ 3y &+& 3t && &+& z &=& 0 \\ -y &-& t &+& 2x &+& z &=& 0 \\ && && 3x &+& 2z &=& 0 \\ \end{array}\right.\] On commence le pivot de Gauss avec les opération \(L_2 \leftarrow L_2-3L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3+L_1\) pour obtenir : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcrcl} y &+& t &+& x &+& z &=& 0 \\ && &-& 3x &-& 2z &=& 0 \\ && && 3x &+& 2z &=& 0 \\ && && 3x &+& 2z &=& 0 \\ \end{array}\right.\] Les \(3\) dernières lignes sont identiques, on se ramène donc à un système avec \(2\) équations et \(4\) inconnues : \[\left\{ \begin{array}{rcrcrcrcl} y &+& t &+& x &+& z &=& 0 \\ && && 3x &+& 2z &=& 0 \\ \end{array}\right.\] Nous choisissons \(x\) et \(y\) comme paramètres, alors \(z=-\frac32x\) et \(t = -x-y-z = \frac12x-y\). Les solutions du système sont donc les \[\bigg\{ \big(x,y,z=-\frac32x,t=\frac12x-y\big) \mid x,y \in \Rr\bigg\}\]

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