L1 Analyse Continuité, limite et étude de fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 3878

Soit f:[a,b]→Rf : {[a,b]} \to {\R} monotone. Pour x∈]a,b[x \in {]a,b[}, on pose δ(x)=∣lim⁡y→x+f(y)−lim⁡y→x−f(y)∣\delta(x) = \bigl|\lim_{y\to x^+} f(y) - \lim_{y\to x^-} f(y)\bigr| (saut de ff en xx).

1

Pour n∈N∗n \in \N^*, montrer que En={x∈]a,b[ tq δ(x)>1n}E_n = \left\{ x \in {]a,b[} \text{ tq } \delta(x) > \frac 1n \right\} est fini.

2

En déduire que l’ensemble des points de discontinuité de ff est au plus dénombrable.

Exercice AX5X

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