Soit \(f : [a,b] \to \R\) une fonction continue. On veut démontrer que \[\sup_{a<x<b} f(x) = \sup_{a\leq x \leq b} f(x).\]
1
Montrer que \[\sup_{a<x<b} f(x) \leq \sup_{a\leq x \leq b} f(x).\]
2
Soit \(x_0 \in [a,b]\) tel que \(f(x_0)=\sup_{a\leq x \leq b} f(x)\). Montrer que \(f(x_0)=\sup_{a< x< b} f(x)\) en distinguant les trois cas : \(x_0=a, x_0=b, x_0\in ]a,b[\).
3
Soit \(g:[0,1] \to \R\) la fonction définie par \(g(x)=0\) si \(x\in [0,1[\) et \(g(x)=1\) si \(x=1\). Montrer que \[\sup_{0<x<1} g(x) \neq \sup_{0\leq x \leq 1} g(x).\] Quelle hypothèse est essentielle dans la propriété démontrée auparavant ?