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Montrer que $$\sup_{a<x<b} f(x) \leq \sup_{a\leq x \leq b} f(x).$$

Soit $x_0 \in [a,b]$ tel que $f(x_0)=\sup_{a\leq x \leq b} f(x)$. Montrer que $f(x_0)=\sup_{a< x< b} f(x)$ en distinguant les trois cas : $x_0=a, x_0=b, x_0\in ]a,b[$.

Soit $g:[0,1] \to \R$ la fonction définie par $g(x)=0$ si $x\in [0,1[$ et $g(x)=1$ si $x=1$. Montrer que $$\sup_{0<x<1} g(x) \neq \sup_{0\leq x \leq 1} g(x).$$ Quelle hypothèse est essentielle dans la propriété démontrée auparavant ?