Existence et unicité de \(x_n\) par étude de la fonction \(x \mapsto e^x+x\) sur \(\R^+\). On a clairement \(x_n\to +\infty\) (lorsque \(n\to\infty\)) et \(n=e^{x_n}+x_n\) d’où : \[\ln n = \ln(e^{x_n}+x_n) = x_n + \ln(1+x_ne^{-x_n}) = x_n + x_ne^{-x_n} - \frac{x_n^2}2e^{-2x_n} + o(x_n^2e^{-2x_n}).\] On en déduit \(x_n\sim \ln n\). Écrivons \(x_n = \ln n + y_n\) : \[0 = y_n + x_ne^{-x_n} - \frac{x_n^2}2e^{-2x_n} + o(x_n^2e^{-2x_n})\] d’où \(y_n \to 0\) (lorsque \(n\to\infty\)) et \(y_n\sim -x_ne^{-x_n} \sim -\frac{\ln n}ne^{-y_n} \sim-\frac{\ln n}n\). Écrivons maintenant \(y_n=-\frac{\ln n}n+z_n\) : \[\begin{align*}0 &= -\frac{\ln n}n + z_n + (\ln n + y_n)\frac{e^{-y_n}}n - \frac{x_n^2}2e^{-2x_n} + o(x_n^2e^{-2x_n})\\ &=z_n + \frac{(\ln n)(-y_n+ o(y_n))}n + y_n\frac{e^{-y_n}}n - \frac{x_n^2}2e^{-2x_n} + o(x_n^2e^{-2x_n})\\ &=z_n + \frac{(\ln n)(-y_n+ o(y_n))}n + y_n\frac{e^{-y_n}}n - \frac{x_n^2}{2n^2}e^{-2y_n} + o\Bigl(\frac{x_n^2e^{-2y_n}}{n^2}\Bigr)\\ &=z_n + \frac{\ln^2n}{2n^2} + o\Bigl(\frac{\ln^2n}{n^2}\Bigr)\cr \end{align*}\] d’où \(z_n\sim-\frac{\ln^2n}{2n^2}\) et finalement, \(x_n = \ln n - \frac{\ln n}n - \frac{\ln^2n}{2n^2}+o\Bigl(\frac{\ln^2n}{n^2}\Bigr).\)

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