Soient \(H_{12}\), \(H_{34}\), \(H_{13}\) et \(H_{24}\) les projetés orthogonaux de \(M\) sur les droites \((M_1M_2)\), \((M_3M_4)\), \((M_1M_3)\) et \((M_2M_4)\). Soit \(s\) la similitude directe de centre \(M\) qui envoie \(M_2\) sur \(M_3\). L’image par \(s\) de la droite \((M_1M_2)\) est une droite \(\mathcal D\) passant par \(M_3\) et telle que \[(M_1M_2,\mathcal D)=(MM_2,MM_3).\] Or, on a \((MM_2,MM_3)=(M_1M_2,M_1M_3)\) car les quatre points sont cocycliques. On en déduit que \(\mathcal D = (M_1M_3)\), et donc que \(s\) envoie la droite \((M_1M_2)\) sur la droite \((M_1M_3)\).

On prouve de la même manière que \(s\) envoie la droite \((M_2M_4)\) sur la droite \((M_3M_4)\).

Comme \(s(M)=M\) et que les similitudes conservent les angles orientés et en particulier l’orthogonalité, on en déduit que \(s(H_{12})=H_{13}\) et que \(s(H_{24})=H_{34}\).

Comme une similitude conserve les rapports de longueurs, on a finalement \(\frac{MH_{13}}{MH_{34}} = \frac{MH_{12}}{MH_{24}}\) c’est-à-dire : \[MH_{12} \cdot MH_{34} = MH_{13}\cdot MH_{24}.\]

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