OpenYourMath

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ à valeurs dans $\R$ vérifiant : $\forall\ x\in\R,\ f'(x)\ge 1$ et $|g'(x)| < 1$ . Soit $\varphi$ définie sur $\R^2$ par $\varphi(x,y) = (f(x)+g(y), f(y) + g(x))$ .

Montrer que $\varphi$ est un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme de $\R^2$ sur $\varphi(\R^2)$ .

On suppose qu’il existe $k\in{]0,1[}$ tel que $\forall\ x\in\R$ , $|g'(x)| < k$ ; montrer que $\varphi(\R^2) = \R^2$ .