Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\) à valeurs dans \(\R\) vérifiant : \(\forall\ x\in\R,\ f'(x)\ge 1\) et \(|g'(x)| < 1\). Soit \(\varphi\) définie sur \(\R^2\) par \(\varphi(x,y) = (f(x)+g(y), f(y) + g(x))\).
1
Montrer que \(\varphi\) est un \(\mathcal{C}^1\)-difféomorphisme de \(\R^2\) sur \(\varphi(\R^2)\).
2
On suppose qu’il existe \(k\in{]0,1[}\) tel que \(\forall\ x\in\R\), \(|g'(x)| < k\) ; montrer que \(\varphi(\R^2) = \R^2\).