Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices \(n\times n\) symétriques à coefficients réels, \(S_n^{+}(\R)\) le sous-ensemble des matrices positives, \(S_n^{++}(\R)\) le sous-ensemble des matrices définies positives et \(\phi \in \mathcal{L}({S_n(\R)})\). On suppose que \(\phi (S_n^{++}(\R))=S_n^{++}(\R)\).
1
Montrer que : \(\forall\ M \in S_n(\R),\ \exists\ A \in \R^+ \text{ tq } \forall\ \lambda > A,\ M + \lambda I_n \in S_n^{++}(\R)\).
2
Montrer que \(\phi \in GL(S_n(\R))\) et que \(\phi (S_n^+(\R))=S_n^+(\R)\).
3
On suppose \(n = 2\) et \(\phi (I_2) = I_2\). Montrer que : \(\forall\ M \in S_2(\R),\ \chi_{\phi (M)}=\chi_M\). Montrer que \(\det(\varphi (M))=\det(M)\) (i.e. \(\phi\) conserve le déterminant).