L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 3 questions

exo7 3821

Soient $n \in \N^*$ , $S_n(\R)$ l’espace des matrices $n\times n$ symétriques à coefficients réels, $S_n^{+}(\R)$ le sous-ensemble des matrices positives, $S_n^{++}(\R)$ le sous-ensemble des matrices définies positives et $\phi \in \mathcal{L}({S_n(\R)})$ . On suppose que $\phi (S_n^{++}(\R))=S_n^{++}(\R)$ .

Montrer que : $\forall\ M \in S_n(\R),\ \exists\ A \in \R^+ \text{ tq } \forall\ \lambda > A,\ M + \lambda I_n \in S_n^{++}(\R)$ .

Montrer que $\phi \in GL(S_n(\R))$ et que $\phi (S_n^+(\R))=S_n^+(\R)$ .

On suppose $n = 2$ et $\phi (I_2) = I_2$ . Montrer que : $\forall\ M \in S_2(\R),\ \chi_{\phi (M)}=\chi_M$ . Montrer que $\det(\varphi (M))=\det(M)$ (i.e. $\phi$ conserve le déterminant).