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Montrer que si $M_i\ (i\in I)$ sont des sous-espaces vectoriels de $L$ alors $\displaystyle P(\bigcap_{i\in I} M_i)=\bigcap_{i\in I} P(M_i).$

Soient $M_i\ (i\in \{1,...,k\}$ des sous-espaces linéaires de $L,$ montrer que $$<P(M_1),..., P(M_k)> =P(M_1+...+M_k).$$

Soient $p:L^*\to P(L)=L^{*} / _{\bf\tilde{}}\$ l’application de la projectivisation (qui associe à chaque $x\in L^*$ sa classe $[x]\in P(L)$) et $S$ un sous-ensemble de l’espace $P(L).$ Alors montrer que $<S>= P(D),$ où $D$ est le sous-espace de $L$ engendré par $p^{-1}(S).$