Soit \(L\) un espace vectoriel de dimension \(n+1.\)
1
Montrer que si \(M_i\ (i\in I)\) sont des sous-espaces vectoriels de \(L\) alors \(\displaystyle P(\bigcap_{i\in I} M_i)=\bigcap_{i\in I} P(M_i).\)
2
Soient \(M_i\ (i\in \{1,...,k\}\) des sous-espaces linéaires de \(L,\) montrer que \[<P(M_1),..., P(M_k)> =P(M_1+...+M_k).\]
3
Soient \(p:L^*\to P(L)=L^{*} / _{\bf\tilde{}}\ \) l’application de la projectivisation (qui associe à chaque \(x\in L^*\) sa classe \([x]\in P(L)\)) et \(S\) un sous-ensemble de l’espace \(P(L).\) Alors montrer que \(<S>= P(D),\) où \(D\) est le sous-espace de \(L\) engendré par \(p^{-1}(S).\)