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Soit $\vec{V}$ un espace vectoriel de dimension $n+1$ muni d’une base $\mathcal{B}:=(\vec{v_i})$ et $(x_i)$ les coordonnées cartésiennes associées. Soit $\mathcal{R}$ le repère projectif associé de $P(\vec{V})$. Soit $\vec{v}$ un vecteur de $\vec{V}$. Déterminer un système de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}$ pour $vect(\vec{v})$ en fonction des coordonnées cartésiennes de $\vec{v}$ dans $\mathcal{B}$.

Soit $E$ un espace affine de dimension $n$ et $\widehat{E}$ son complété vectoriel. On identifie $E$ à un ouvert affine de $P(\widehat{E})$ par l’application naturelle $M\mapsto vect\left( (\!( 1,M )\!)\right)$. Soit $\mathcal{A}:=(A_i)_{0\leq i\leq n}$ un repère affine de $E$.

Considérons d’abord la base $\mathcal{B}_1:=\left( (\!( 1,A_i)\!)\right)$ de $\widehat{E}$ et $\mathcal{R}_1$ le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}_1$ de $M\in E$ considéré dans $P(\widehat{E})$ en fonction de ses coordonnées barycentriques dans $\mathcal{A}$. Donner une équation de l’hyperplan à l’infini.

Considérons maintenant la base $\mathcal{B}_2:=\left( (\!( 1,A_0)\!) , (\!( 0,\vec{A_0A_i})\!)\right)$ de $\widehat{E}$ et $\mathcal{R}_2$ le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}_2$ de $M\in E$ considéré dans $P(\widehat{E})$ en fonction de ses coordonnées cartésiennes dans $\mathcal{A}$. Donner une équation de l’hyperplan à l’infini.