Soit \(\vec{V}\) un espace vectoriel de dimension \(n+1\) muni d’une base \(\mathcal{B}:=(\vec{v_i})\) et \((x_i)\) les coordonnées cartésiennes associées. Soit \(\mathcal{R}\) le repère projectif associé de \(P(\vec{V})\). Soit \(\vec{v}\) un vecteur de \(\vec{V}\). Déterminer un système de coordonnées homogènes dans \(\mathcal{R}\) pour \(vect(\vec{v})\) en fonction des coordonnées cartésiennes de \(\vec{v}\) dans \(\mathcal{B}\).
Soit \(E\) un espace affine de dimension \(n\) et \(\widehat{E}\) son complété vectoriel. On identifie \(E\) à un ouvert affine de \(P(\widehat{E})\) par l’application naturelle \(M\mapsto vect\left( (\!( 1,M )\!)\right)\). Soit \(\mathcal{A}:=(A_i)_{0\leq i\leq n}\) un repère affine de \(E\).
Considérons d’abord la base \(\mathcal{B}_1:=\left( (\!( 1,A_i)\!)\right)\) de \(\widehat{E}\) et \(\mathcal{R}_1\) le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans \(\mathcal{R}_1\) de \(M\in E\) considéré dans \(P(\widehat{E})\) en fonction de ses coordonnées barycentriques dans \(\mathcal{A}\). Donner une équation de l’hyperplan à l’infini.
Considérons maintenant la base \(\mathcal{B}_2:=\left( (\!( 1,A_0)\!) , (\!( 0,\vec{A_0A_i})\!)\right)\) de \(\widehat{E}\) et \(\mathcal{R}_2\) le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans \(\mathcal{R}_2\) de \(M\in E\) considéré dans \(P(\widehat{E})\) en fonction de ses coordonnées cartésiennes dans \(\mathcal{A}\). Donner une équation de l’hyperplan à l’infini.