Repère de $(D)$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x-z-a=0\\ y+3z+1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=a+z\\ y=-1-3z \end{array} \right.$ .

$(D)$ est la droite passant par $A(a,-1,0)$ et dirigée par $u(1,-3,1)$ . Repère de $(D')$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+2y+z-2b=0\\ 3x+3y+2z-7=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2y+z=2b-x\\ 3y+2z=7-3x \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=4b-7+x\\ z=14-6b-3x \end{array} \right.$

$(D')$ est la droite passant par $A'(0,4b-7,-6b+14)$ et dirigée par $u'(1,1,-3)$ . Les vecteurs $u$ et $u'$ ne sont pas colinéaires et donc $(D)$ et $(D')$ ne sont pas parallèles. Le plan $(P)$ contenant $(D)$ et parallèle à $(D')$ est le plan de repère $(A,u,u')$ . Déterminons une équation de ce plan.

$M(x,y,z)\in(P)\Leftrightarrow \left| \begin{array}{ccc} x-a&1&1\\ y+1&-3&1\\ z&1&-3 \end{array}\right|=0\Leftrightarrow 8(x-a)+4(y+1)+4z=0\Leftrightarrow2x+y+z=2a-1$ .

Enfin, $(D)$ et $(D')$ sont sécantes si et seulement si $(D')$ est contenue dans $(P)$ . Comme $(D')$ est déjà parallèle à $(P)$ , on a

$(D)$ et $(D')$ sécantes $\Leftrightarrow A'\in(P)\Leftrightarrow(4b-7)+(-6b+14)=2a-1\Leftrightarrow b=-a+4$ .

(D)

et

(D')

sont sécantes si et seulement si

b=-a+4

et dans ce cas, une équation du plan contenant

(D)

et

(D')

est

2x+y+z=2a-1

.

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