On consdière les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \[u_0=2\textrm{ et pour tout }n\in \mathbb{N},~~v_n=\frac{2}{u_n}\textrm{ et } u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}\]
Calculer \(v_0; u_1; v_1; u_2; v_2\). On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.
Démontrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont majorées par \(2\) et minorées par \(1\).
Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on a \[u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}\]
Montrer que pour tout \(n\), \(u_n\geq v_n\).
Montrer que \((u_n)\) est décroissante, et \((v_n)\) est croissante.
Montrer que pour tout \(n\), \(u_n-v_n\leq 1\), et en déduire que \((u_n-v_n)^2\leq u_n-v_n\).
Montrer que pour tout \(n\), \[u_{n+1}-v_{n+1}\leq \frac{1}{4}(u_n-v_n)\] En déduire que pour tout \(n\), \(u_n-v_n\leq \frac{1}{4^n}\).