Soient \(a\) et \(b\) deux réels fixés tels que \(0<a<b\). Trouvons les entiers naturels non nuls \(k\) tels que \(]ka,kb[\cap](k+1)a,(k+1)b[\neq\emptyset\). Pour \(k\) dans \(\Nn^*\), posons \(I_k=]ka,kb[\).

\[I_k\cap I_{k+1}\neq\emptyset\Leftrightarrow ka<(k+1)a<kb<(k+1)b\Leftrightarrow k>\frac{a}{b-a}\Leftrightarrow k\geq E(\frac{a}{b-a})+1.\]

Posons \(k_0=E(\frac{a}{b-a})+1\). Pour \(k\geq k_0\), on a donc \(I_k\cap I_{k+1}\neq\emptyset\) et donc \(\displaystyle\bigcup_{k\geq k_0}]ka,kb[=]k_0a,+\infty[\).

Maintenant, si \(k_0=1\), \(\displaystyle\bigcup_{k\geq k_0}]ka,kb[=]a,+\infty[\) et si \(k_0>1\), \(\displaystyle\bigcup_{k\geq k_0}]ka,kb[=(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{k_0-1}]ka,kb[)\cup]k_0a,+\infty[\). Mais, si \(x\) est dans \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{k_0-1}]ka,kb[\), alors \(x<(k_0-1)b<k_0a\) et donc, \((\displaystyle\bigcup_{k=1}^{k_0-1}]ka,kb[)\cap]k_0a,+\infty[=\emptyset\). La plus petite valeur de \(A\) est donc \((E(\frac{a}{b-a})+1)a\).

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