1 Soit EEE un KKK-ev et f,g∈L(E)f,g \in \mathcal{L}(E)f,g∈L(E) tels que : {f2=0f∘g+g∘f=idE.\begin{cases} f^2 = 0 \cr f\circ g + g\circ f = \mathrm{id}_E.\end{cases}{f2=0f∘g+g∘f=idE. Montrer que Kerf=ℑf\mathrm{Ker} f = \Im fKerf=ℑf. 2 Réciproquement, soit f∈L(E)f \in \mathcal{L}(E)f∈L(E) tel que Kerf=ℑf\mathrm{Ker} f = \Im fKerf=ℑf, et FFF un supplémentaire de Kerf\mathrm{Ker} fKerf. Montrer que 3 f2=0f^2 = 0f2=0. 4 ∀ x⃗∈E\forall\ \vec x \in E∀ x∈E, il existe y⃗,z⃗∈F\vec y,\vec z \in Fy,z∈F uniques tels que x⃗=y⃗+f(z⃗)\vec x = \vec y + f(\vec z)x=y+f(z). 5 Il existe g∈L(E)g \in \mathcal{L}(E)g∈L(E) tel que f∘g+g∘f=idEf\circ g + g\circ f = \mathrm{id}_Ef∘g+g∘f=idE. ✅ Signaler une erreur Exercice CUpO Signaler une erreur ✕ ProblèmePrécisionsEnvoi Quel est le problème ? Erreur dans l’énoncé Énoncé faux, incomplet ou ambigu, hypothèse manquante. Erreur dans la correction Calcul faux, résultat erroné, raisonnement incomplet dans une réponse ou une indication. Coquille ou rédaction Faute de frappe ou d’orthographe, notation incohérente, phrase maladroite. Problème d’affichage Formule mal rendue, image manquante, mise en page cassée. Mauvais classement Niveau, module ou chapitre qui ne correspond pas à l’exercice. Rattachement aux programmes de CPGE Programme de prépa indiqué à tort, ou programme qui manque. Doublon Le même exercice existe déjà sous un autre identifiant. Autre chose Tout ce qui n’entre pas dans les cas précédents.