1
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que : \(\begin{cases} f^2 = 0 \cr f\circ g + g\circ f = \mathrm{id}_E.\end{cases}\)
Montrer que \(\mathrm{Ker} f = \Im f\).
2
Réciproquement, soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(\mathrm{Ker} f = \Im f\), et \(F\) un supplémentaire de \(\mathrm{Ker} f\). Montrer que
3
\(f^2 = 0\).
4
\(\forall\ \vec x \in E\), il existe \(\vec y,\vec z \in F\) uniques tels que \(\vec x = \vec y + f(\vec z)\).
5
Il existe \(g \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f\circ g + g\circ f = \mathrm{id}_E\).