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Soient $\Kk$ un sous-corps de $\Cc$ et $E$ un $\Kk$ -espace vectoriel de dimension finie notée $n$ . Soit $u$ un endomorphisme de $E$ . On dit que $u$ est nilpotent si et seulement si $\exists k\in\Nn^*/\;u^k=0$ et on appelle alors indice de nilpotence de $u$ le plus petit de ces entiers $k$ (par exemple, le seul endomorphisme $u$ , nilpotent d’indice $1$ est $0$ ).

Soit $u$ un endomorphisme nilpotent d’indice $p$ . Montrer qu’il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que la famille

$(x,\;u(x),...,\;u^{p-1}(x))$ soit libre.

Soit $u$ un endomorphisme nilpotent. Montrer que $u^n=0$ .

On suppose dans cette question que $u$ est nilpotent d’indice $n$ . Déterminer $\mbox{rg}u$ .

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