Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie notée \(n\). Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\). On dit que \(u\) est nilpotent si et seulement si \(\exists k\in\Nn^*/\;u^k=0\) et on appelle alors indice de nilpotence de \(u\) le plus petit de ces entiers \(k\) (par exemple, le seul endomorphisme \(u\), nilpotent d’indice \(1\) est \(0\)).
1
Soit \(u\) un endomorphisme nilpotent d’indice \(p\). Montrer qu’il existe un vecteur \(x\) de \(E\) tel que la famille
\((x,\;u(x),...,\;u^{p-1}(x))\) soit libre.
2
Soit \(u\) un endomorphisme nilpotent. Montrer que \(u^n=0\).
3
On suppose dans cette question que \(u\) est nilpotent d’indice \(n\). Déterminer \(\mbox{rg}u\).