Soit \(n\in\Nn\). Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(f_x:y\mapsto y^{2n+1}+y-x\) est continue et strictement croissante sur \(\Rr\) en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur \(\Rr\). Donc la fonction \(f_x\) réalise une bijection de \(\Rr\) sur \(]\lim_{y \rightarrow -\infty}f_x(y),\lim_{y \rightarrow +\infty}f_x(y)[=\Rr\). En particulier, l’équation \(f_x(y)=0\) a une et une seule solution dans \(\Rr\) que l’on note \(\varphi(x)\).

La fonction \(f:(x,y)\mapsto y^{2n+1}+y-x\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) qui est un ouvert de \(\Rr^2\) et de plus, \(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=(2n+1)y^{2n}+1\neq0\). D’après le théorème des fonctions implicites, la fonction \(\varphi\) implicitement définie par l’égalité \(f(x,y)=0\) est dérivable en tout réel \(x\) et de plus, en dérivant l’égalité \(\forall x\in\Rr\), \((\varphi(x))^{2n+1}+\varphi(x)-x=0\), on obtient \(\forall x\in\Rr\), \((2n+1)\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n}+\varphi'(x)-1=0\) et donc

\(\forall x\in\Rr\), \(\varphi'(x)= \frac{1}{(2n+1)(\varphi(x))^{2n}+1}\).

Montrons par récurrence que \(\forall p\in\Nn^*\), la fonction \(\varphi\) est \(p\) fois dérivable sur \(\Rr\).

- C’est vrai pour \(p=1\).

- Soit \(p\geqslant1\). Supposons que la fonction \(\varphi\) soit \(p\) fois dérivable sur \(\Rr\). Alors la fonction \(\varphi'= \frac{1}{(2n+1)\varphi^{2n}+1}\) est

\(p\) fois dérivable sur \(\Rr\) en tant qu’inverse d’une fonction \(p\) fois dérivable sur \(\Rr\) ne s’annulant pas sur \(\Rr\). On en déduit

que la fonction \(\varphi\) est \(p+1\) fois dérivable sur \(\Rr\).

On a montré par récurrence que \(\forall p\in\Nn^*\), la fonction \(\varphi\) est \(p\) fois dérivable sur \(\Rr\) et donc que

Calculons maintenant \(I=\int_{0}^{2}\varphi(t)\;dt\). On note tout d’abord que, puisque \(0^{2n+1}+0-0=0\), on a \(\varphi(0)=0\) et puisque \(1^{2n+1}+1-2=0\), on a \(\varphi(2)=1\).

Maintenant, pour tout réel \(x\) de \([0,2]\), on a \(\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}+\varphi'(x)\varphi(x)-x\varphi'(x)=0\) (en multipliant par \(\varphi'(x)\) les deux membres de l’égalité définissant \(\varphi(x)\)) et en intégrant sur le segment \([0,2]\), on obtient

\(\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx+\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx-\int_{0}^{2}x\varphi'(x)\;dx=0\) \((*)\).

Or, \(\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx=\left[ \frac{(\varphi(x))^{2n+2}}{2n+2}\right]_0^2= \frac{1}{2n+2}\). De même, \(\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx=\left[ \frac{(\varphi(x))^{2}}{2}\right]_0^2= \frac{1}{2}\) et donc \(\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx+\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx= \frac{1}{2n+2}+ \frac{1}{2}= \frac{n+2}{2n+2}\). D’autre part, puisque les deux fonctions \(x\mapsto x\) et \(x\mapsto\varphi(x)\) sont de classe \(C^1\) sur le segment \([0,2]\), on peut effectuer une intégration par parties qui fournit

\(-\int_{0}^{2}x\varphi'(x)\;dx=\left[-x\varphi(x)\right]_0^2+\int_{0}^{2}\varphi(x)\;dx=-2+I\).

L’égalité \((*)\) s’écrit donc \(\frac{n+2}{2n+2}-2+I=0\) et on obtient \(I= \frac{3n+2}{2n+2}\).

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