Soit $n\in\Nn$ . Soit $x\in\Rr$ . La fonction $f_x:y\mapsto y^{2n+1}+y-x$ est continue et strictement croissante sur $\Rr$ en tant que somme de fonctions continues et strictement croissantes sur $\Rr$ . Donc la fonction $f_x$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]\lim_{y \rightarrow -\infty}f_x(y),\lim_{y \rightarrow +\infty}f_x(y)[=\Rr$ . En particulier, l’équation $f_x(y)=0$ a une et une seule solution dans $\Rr$ que l’on note $\varphi(x)$ .

La fonction $f:(x,y)\mapsto y^{2n+1}+y-x$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ qui est un ouvert de $\Rr^2$ et de plus, $\forall(x,y)\in\Rr^2$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=(2n+1)y^{2n}+1\neq0$ . D’après le théorème des fonctions implicites, la fonction $\varphi$ implicitement définie par l’égalité $f(x,y)=0$ est dérivable en tout réel $x$ et de plus, en dérivant l’égalité $\forall x\in\Rr$ , $(\varphi(x))^{2n+1}+\varphi(x)-x=0$ , on obtient $\forall x\in\Rr$ , $(2n+1)\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n}+\varphi'(x)-1=0$ et donc

$\forall x\in\Rr$ , $\varphi'(x)= \frac{1}{(2n+1)(\varphi(x))^{2n}+1}$ .

Montrons par récurrence que $\forall p\in\Nn^*$ , la fonction $\varphi$ est $p$ fois dérivable sur $\Rr$ .

- C’est vrai pour $p=1$ .

- Soit $p\geqslant1$ . Supposons que la fonction $\varphi$ soit $p$ fois dérivable sur $\Rr$ . Alors la fonction $\varphi'= \frac{1}{(2n+1)\varphi^{2n}+1}$ est

$p$ fois dérivable sur $\Rr$ en tant qu’inverse d’une fonction $p$ fois dérivable sur $\Rr$ ne s’annulant pas sur $\Rr$ . On en déduit

que la fonction $\varphi$ est $p+1$ fois dérivable sur $\Rr$ .

On a montré par récurrence que $\forall p\in\Nn^*$ , la fonction $\varphi$ est $p$ fois dérivable sur $\Rr$ et donc que

la fonction $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ .

Calculons maintenant $I=\int_{0}^{2}\varphi(t)\;dt$ . On note tout d’abord que, puisque $0^{2n+1}+0-0=0$ , on a $\varphi(0)=0$ et puisque $1^{2n+1}+1-2=0$ , on a $\varphi(2)=1$ .

Maintenant, pour tout réel $x$ de $[0,2]$ , on a $\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}+\varphi'(x)\varphi(x)-x\varphi'(x)=0$ (en multipliant par $\varphi'(x)$ les deux membres de l’égalité définissant $\varphi(x)$ ) et en intégrant sur le segment $[0,2]$ , on obtient

$\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx+\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx-\int_{0}^{2}x\varphi'(x)\;dx=0$ $(*)$ .

Or, $\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx=\left[ \frac{(\varphi(x))^{2n+2}}{2n+2}\right]_0^2= \frac{1}{2n+2}$ . De même, $\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx=\left[ \frac{(\varphi(x))^{2}}{2}\right]_0^2= \frac{1}{2}$ et donc $\int_{0}^{2}\varphi'(x)(\varphi(x))^{2n+1}\;dx+\int_{0}^{2}\varphi'(x)\varphi(x)\;dx= \frac{1}{2n+2}+ \frac{1}{2}= \frac{n+2}{2n+2}$ . D’autre part, puisque les deux fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto\varphi(x)$ sont de classe $C^1$ sur le segment $[0,2]$ , on peut effectuer une intégration par parties qui fournit

$-\int_{0}^{2}x\varphi'(x)\;dx=\left[-x\varphi(x)\right]_0^2+\int_{0}^{2}\varphi(x)\;dx=-2+I$ .

L’égalité $(*)$ s’écrit donc $\frac{n+2}{2n+2}-2+I=0$ et on obtient $I= \frac{3n+2}{2n+2}$ .

$\int_{0}^{2}\varphi(x)\;dx= \frac{3n+2}{2n+2}$ .

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