On sait que les solutions sur \(\Rr\) de l’équation proposée sont les fonctions de la forme :

\[g~:~x\mapsto\lambda e^{-ax}+e^{-ax}\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt,\;\lambda\in\Rr.\] Dans ce cas, pour \(x\in\Rr\), \(g(x+T)=\lambda e^{-a(x+T)}+e^{-a(x+T)}\int_{0}^{x+T}e^{at}f(t)\;dt\). Or,

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{x+T}e^{at}f(t)\;dt&=\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt+\int_{x}^{x+T}e^{at}f(t)\;dt=\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt+\int_{0}^{T} e^{a(u+T)}f(u+T)\;du\\ &=\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt+e^{aT}\int_{0}^{T}e^{au}f(u)du. \end{align*}\]

Donc,

\[\begin{align*}\ensuremath g(x+T)&=\lambda e^{-a(x+T)}+e^{-a(x+T)}\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt+e^{-ax}\int_{0}^{T}e^{au}f(u)\;du\\ &=\lambda e^{-a(x+T)}+e^{-a(x+T)}\int_{0}^{T}e^{at}f(t)\;dt+g(x)-\lambda e^{-ax}. \end{align*}\]

Par suite,

\[\begin{align*}\ensuremath g\;\mbox{est}\;T\mbox{-périodique}&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;\lambda e^{-a(x+T)}+e^{-a(x+T)}\int_{0}^{T}e^{at}f(t)\;dt-\lambda e^{-ax}=0\\ &\Leftrightarrow\lambda(1-e^{-aT})=e^{-aT}\int_{0}^{T}e^{at}f(t)\;dt\Leftrightarrow\lambda=\frac{e^{-aT}}{1-e^{-aT}}\int_{0}^{T}e^{at}f(t)\;dt \end{align*}\]

(\(e^{-aT}\neq1\) car \(a\neq0\) et \(T\neq0\)). D’où l’existence et l’unicité d’une solution \(T\)-périodique :

\[\forall x\in\Rr,\;g(x)=\frac{e^{-aT}}{1-e^{-aT}}\int_{0}^{T}e^{at}f(t)\;dte^{-ax}+e^{-ax}\int_{0}^{x}e^{at}f(t)\;dt.\]

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