On détermine d’abord le domaine de définition, avant de déterminer sa parité.

Puisque, pour tout réel \(x\), \(x^2+1>0\) et \(x^4+1>0\), la fonction \(f\) est définie sur \(\R\), qui est bien symétrique par rapport à \(0\). Enfin, pour tout réel \(x\), \[f(-x)=\frac{\ln((-x)^2+1)}{(-x)^4+1}=\frac{\ln(x^2+1)}{x^4+1}=f(x)\] Ainsi, la fonction \(f\) est paire.
\(g\) n’est définie que si le quotient est strictement positif. Dressons le tableau de signes : \[\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x& -\infty & & -1 & & 1 & & \\\hline x+1 & & - & 0 & + & & + & \\\hline x-1 & & - & & - & 0 & + & \\\hline \displaystyle{\frac{x+1}{x-1}} & & + & 0 & - & || & + & \\\hline \end{array}\] Ainsi, \(g\) est définie sur \(]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[\), qui est bien symétrique par rapport à \(0\). Enfin, pour tout \(x\in]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[\) : \[g(-x)=\ln \left( \frac{-x+1}{-x-1} \right) = \ln \left(\frac{-(x-1)}{-(x+1)}\right) = \ln \left( \frac{x-1}{x+1}\right) = -\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)=-g(x)\] Ainsi, \(g\) est une fonction impaire.
La fonction \(h\) est clairement définie sur \(\R\), qui est symétrique par rapport à \(0\), et on a \[\forall~x\in \R,\quad h(-x)=(-x)((-x)^2+2)^3(\eu{(-x)^2+1}+3)=-x(x^2+2)^3(\eu{x^2+1}+3)=-h(x)\] Ainsi, \(h\) est impaire.

Pair, impair ou manque