L1 Analyse Suite Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 571

Soient aa et bb deux réels, a<ba<b. On considère la fonction f:[a,b]⟶[a,b]f:\lbrack a,b\rbrack\longrightarrow \lbrack a,b\rbrack supposée continue et une suite récurrente (un)n(u_n)_n définie par : u0∈[a,b]  et pour tout  n∈N,  un+1=f(un).u_0\in\lbrack a,b\rbrack\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=f(u_n).

1

On suppose ici que ff est croissante. Montrer que (un)n(u_n)_n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équation f(x)=xf(x)=x.

2

Application. Calculer la limite de la suite définie par : u0=4  et pour tout  n∈N,  un+1=4un+5un+3.u_0=4\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=\frac{4u_n+5}{u_n+3}.

3

On suppose maintenant que ff est décroissante. Montrer que les suites (u2n)n(u_{2n})_n et (u2n+1)n(u_{2n+1})_n sont monotones et convergentes.

4

Application. Soit u0=12  et pour tout  n∈N,  un+1=(1−un)2.u_0=\frac{1}{2}\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=(1-u_n)^2. Calculer les limites des suites (u2n)n(u_{2n})_n et (u2n+1)n(u_{2n+1})_n.

Exercice DVbe

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