Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On considère la fonction \(f:\lbrack a,b\rbrack\longrightarrow \lbrack a,b\rbrack\) supposée continue et une suite récurrente \((u_n)_n\) définie par : \[u_0\in\lbrack a,b\rbrack\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=f(u_n).\]
On suppose ici que \(f\) est croissante. Montrer que \((u_n)_n\) est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l’équation \(f(x)=x\).
Application. Calculer la limite de la suite définie par : \[u_0=4\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=\frac{4u_n+5}{u_n+3}.\]
On suppose maintenant que \(f\) est décroissante. Montrer que les suites \((u_{2n})_n\) et \((u_{2n+1})_n\) sont monotones et convergentes.
Application. Soit \[u_0=\frac{1}{2}\ \ \text{et pour tout }\ n\in\N,\ \ u_{n+1}=(1-u_n)^2.\] Calculer les limites des suites \((u_{2n})_n\) et \((u_{2n+1})_n\).