Soit \(A\) un anneau intègre et \(a,b,c \in A\setminus \{0 \}\). Montrer que, chaque fois que les pgcd suivants existent, on a les égalités :
1
\(\pgcd (ca,cb)\sim c \pgcd (a,b)\)
2
\(\pgcd ( \pgcd (a,b),c)\sim \pgcd (a, \pgcd (b,c))\).
Si \(A\) est en plus factoriel, montrer que
3
\(\pgcd (a,b)\sim 1\) et \(\pgcd(a,c)\sim 1\) implique \(\pgcd(a,bc)\sim 1\).
4
Si \(a|bc\) et \(\pgcd (a,b)\sim 1\) alors \(a|c\).
5
Si \(b|a\) et \(c|a\) et \(\pgcd (b,c)\sim 1\) alors \((bc)|a\).