L3 Analyse complexe Formule de Cauchy 4 questions

exo7 2810

Soit γ=[A,B]+[B,C]+[C,D]+[D,A]\gamma = [A,B]+[B,C]+[C,D]+[D,A] le bord (parcouru dans le sens direct) du carré de sommets A=1−iA = 1-i, B=1+iB = 1+i, C=−1+iC=-1+i, D=−1−iD=-1-i. Déterminer les intégrales suivantes:

1

∫γ dx\int_\gamma \,dx, ∫γx dx\int_\gamma x\,dx, ∫γx2 dx\int_\gamma x^2\,dx, ∫γy dx\int_\gamma y\,dx, ∫γy2 dx\int_\gamma y^2\,dx, ∫γy3 dx\int_\gamma y^3 \,dx,

2

∫γx dx+y dy\int_\gamma x\,dx+y\,dy, ∫γx dy+y dx\int_\gamma x\,dy+y\,dx, ∫γx dy−y dx\int_\gamma x\,dy-y\,dx,

3

∫γ dz\int_\gamma \,dz, ∫γz dz\int_\gamma z\,dz, ∫γx dz\int_\gamma x\,dz, ∫γz dx\int_\gamma z\,dx,

4

∫γz−1 dz\int_\gamma z^{-1} \,dz, ∫γz−2 dz\int_\gamma z^{-2} \,dz, ∫γzn dz\int_\gamma z^{n} \,dz, pour n∈Zn\in\Zz.

Exercice DvR4

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