Soient \(n\) un entier naturel non nul puis \(P_1\),..., \(P_n\) \(n\) polynômes non nuls de degrés respectifs \(d_1<...<d_n\).

Soit \((\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\Kk^n\) tel que \(\lambda_1P_1 + ... +\lambda_nP_n=0\). Supposons par l’absurde que les \(\lambda_i\) ne soient pas tous nuls et posons \(k=\text{Max}\left\{i\in\llbracket1,n\rrbracket/\;\lambda_i\neq0\right\}\). On ne peut avoir \(k=1\) car \(P_1\neq0\) puis

\(\lambda_1P_1 + ... +\lambda_nP_n=0\Rightarrow\lambda_1P_1 + ... +\lambda_kP_k=0\Rightarrow\lambda_kP_k=-\sum_{i<k}^{}\lambda_iP_i\).

Cette dernière égalité est impossible car \(\lambda_kP_k\) est un polynôme de degré \(d_k\) (car \(\lambda_k\neq0\)) et \(-\sum_{i<k}^{}\lambda_iP_i\) est un polynôme de degré au plus \(d_{k-1}<d_k\). Donc tous les \(\lambda_k\) sont nuls.

La même démarche tient en remplaçant degré par valuation et en s’intéressant à la plus petite valuation au lieu du plus grand degré.

exo7 5571