Analysons d’abord les fonctions de $E$ qui ne sont pas dans $F$ : ce sont les fonctions $h$ qui vérifient $h(0) \neq 0$ ou $h'(0) \neq 0$ . Par exemple les fonctions constantes $x \mapsto b$ , ( $b \in \Rr^*$ ) ou les homothéties $x \mapsto a x$ , ( $a \in \Rr^*$ ) n’appartiennent pas à $F = \left\{ f \in E \mid f (0) = f' (0) = 0\right\}$ .

Cela nous donne l’idée de poser $G= \left\lbrace x \mapsto ax+b \mid (a,b) \in \Rr^2 \right\rbrace.$ Montrons que $G$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$ .

Soit $f \in F \cap G$ , alors $f(x) = ax+b$ (car $f\in G$ ) et $f(0) = b$ et $f'(0)=a$ ; mais $f\in F$ donc $f(0) = 0$ donc $b=0$ et $f'(0)=0$ donc $a=0$ . Maintenant $f$ est la fonction nulle : $F\cap G = \{ 0 \}$ .

Soit $h \in E$ , alors remarquons que pour $f(x) = h(x) - h(0) -h'(0)x$ la fonction $f$ vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0)=0$ donc $f \in F$ . Si nous écrivons l’égalité différemment nous obtenons $h(x) = f(x) +h(0)+h'(0)x.$ Posons $g(x) = h(0)+h'(0)x$ , alors la fonction $g \in G$ et $h =f +g,$ ce qui prouve que toute fonction de $E$ s’écrit comme somme d’une fonction de $F$ et d’une fonction de $G$ : $E = F + G$ .

En conclusion nous avons montré que $E = F \oplus G$ .

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