Analysons d’abord les fonctions de \(E\) qui ne sont pas dans \(F\) : ce sont les fonctions \(h\) qui vérifient \(h(0) \neq 0\) ou \(h'(0) \neq 0\). Par exemple les fonctions constantes \(x \mapsto b\), (\(b \in \Rr^*\)) ou les homothéties \(x \mapsto a x\), (\(a \in \Rr^*\)) n’appartiennent pas à \(F\).

Cela nous donne l’idée de poser \[G= \left\lbrace x \mapsto ax+b \mid (a,b) \in \Rr^2 \right\rbrace.\] Montrons que \(G\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(E\).

Soit \(f \in F \cap G\), alors \(f(x) = ax+b\) (car \(f\in G\)) et \(f(0) = b\) et \(f'(0)=a\) ; mais \(f\in F\) donc \(f(0) = 0\) donc \(b=0\) et \(f'(0)=0\) donc \(a=0\). Maintenant \(f\) est la fonction nulle : \(F\cap G = \{ 0 \}\).

Soit \(h \in E\), alors remarquons que pour \(f(x) = h(x) - h(0) -h'(0)x\) la fonction \(f\) vérifie \(f(0) = 0\) et \(f'(0)=0\) donc \(f \in F\). Si nous écrivons l’égalité différemment nous obtenons \[h(x) = f(x) +h(0)+h'(0)x.\] Posons \(g(x) = h(0)+h'(0)x\), alors la fonction \(g \in G\) et \[h =f +g,\] ce qui prouve que toute fonction de \(E\) s’écrit comme somme d’une fonction de \(F\) et d’une fonction de \(G\) : \(E = F + G\).

En conclusion nous avons montré que \(E = F \oplus G\).

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