1ère solution. $F$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur $E$ et est donc un hyperplan de $E$ .

Soit $x=(x_1,...,x_n)$ un élément de $F\cap G$ . Il existe $\lambda\in\Kk$ tel que $x=(\lambda,...,\lambda)$ et $n\lambda=0$ et donc $\lambda=0$ puis $x=0$ . Donc $F\cap G=\{0\}$ . De plus $\text{dim}(F)+\text{dim}(G)=n-1+1=n=\text{dim}(E)<+\infty$ et donc $F\oplus G=E$ .

Soit $x=(x_1,...,x_n)$ un vecteur de $E$ . Soit $\lambda\in \Kk$ . $x -(\lambda,...,\lambda)\in F\Leftrightarrow (x_1-\lambda)+...+(x_n-\lambda)=0\Leftrightarrow\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ . Le projeté de $x$ sur $G$ parallèlement à $F$ est donc $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i(1,...,1)$ et le projeté de $x$ sur $F$ parallèlement à $G$ est $x-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i(1,...,1)$ .

2ème solution (dans le cas où $\Kk=\Rr$ ). On munit $\Rr^n$ de sa structure euclidienne canonique. Posons $\overrightarrow{u}=(1,\ldots,1)$ .

On a $F=\overrightarrow{u}^\bot=G^\bot$ . Par suite, $F$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ .

Soit $x\in E$ . Le projeté orthogonal de $x$ sur $G$ est $\frac{x.u}{\|u\|^2}u=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}(1,\ldots,1)$ .

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