1ère solution. \(F\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur \(E\) et est donc un hyperplan de \(E\).

Soit \(x=(x_1,...,x_n)\) un élément de \(F\cap G\). Il existe \(\lambda\in\Kk\) tel que \(x=(\lambda,...,\lambda)\) et \(n\lambda=0\) et donc \(\lambda=0\) puis \(x=0\). Donc \(F\cap G=\{0\}\). De plus \(\text{dim}(F)+\text{dim}(G)=n-1+1=n=\text{dim}(E)<+\infty\) et donc \(F\oplus G=E\).

Soit \(x=(x_1,...,x_n)\) un vecteur de \(E\). Soit \(\lambda\in \Kk\). \(x -(\lambda,...,\lambda)\in F\Leftrightarrow (x_1-\lambda)+...+(x_n-\lambda)=0\Leftrightarrow\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\). Le projeté de \(x\) sur \(G\) parallèlement à \(F\) est donc \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i(1,...,1)\) et le projeté de \(x\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) est \(x-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i(1,...,1)\).

2ème solution (dans le cas où \(\Kk=\Rr\)). On munit \(\Rr^n\) de sa structure euclidienne canonique. Posons \(\overrightarrow{u}=(1,\ldots,1)\).

On a \(F=\overrightarrow{u}^\bot=G^\bot\). Par suite, \(F\) est le supplémentaire orthogonal de \(F\).

Soit \(x\in E\). Le projeté orthogonal de \(x\) sur \(G\) est \(\frac{x.u}{\|u\|^2}u=\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}(1,\ldots,1)\).

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