L1 Analyse Continuité, limite et étude de fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 3880

Soit f:]0,1]→Rf : {]0,1]} \to {\R} uniformément continue. Pour x∈]0,1]x \in {]0,1]} on pose : {g(x)=sup⁡(f(]0,x]))h(x)=inf⁡(f(]0,x])).\begin{cases} g(x) = \sup\bigl(f(]0,x])\bigr) \cr h(x) = \inf\bigl(f(]0,x])\bigr).\cr\end{cases}

1

Montrer que gg et hh sont monotones.

On note ℓ=lim⁡x→0+g(x)\ell = \lim_{x\to0^+} g(x) et m=lim⁡x→0+h(x)m = \lim_{x\to0^+} h(x).

2

En utilisant la continuité uniforme de ff, montrer que ℓ=m\ell = m.

3

En déduire que f(x)→ℓf(x) \to \ell, si x→0+x\to0^+.

Exercice GHCq

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