Soit \(f : {]0,1]} \to {\R}\) uniformément continue. Pour \(x \in {]0,1]}\) on pose : \(\begin{cases} g(x) = \sup\bigl(f(]0,x])\bigr) \cr h(x) = \inf\bigl(f(]0,x])\bigr).\cr\end{cases}\)
1
Montrer que \(g\) et \(h\) sont monotones.
On note \(\ell = \lim_{x\to0^+} g(x)\) et \(m = \lim_{x\to0^+} h(x)\).
2
En utilisant la continuité uniforme de \(f\), montrer que \(\ell = m\).
3
En déduire que \(f(x) \to \ell\), si \(x\to0^+\).