\(0\) n’est pas racine de \(P\).

On rappelle que si \(r=\frac{p}{q}\), (\(p\in\Zz^*\), \(q\in\Nn^*\), \(p\wedge q=1\)) est racine de \(P\), alors \(p\) divise le coefficient constant de \(P\) et \(q\) divise son coefficient dominant. Ici, \(p\) divise \(4\) et \(q\) divise \(12\) et donc, \(p\) est élément de \(\{\pm1,\pm2,\pm4\}\) et \(q\) est élément de \(\{1,2,3,4,6,12\}\) ou encore \(r\) est élément de \(\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3},\pm\frac{4}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{6},\pm\frac{1}{12}\}\).

Réciproquement, on trouve \(P(\frac{2}{3})=P(\frac{1}{4})=0\). \(P\) est donc divisible par

\[12(X-\frac{2}{3})(X-\frac{1}{4})=(3X-2)(4X-1)=12X^2-11X+2.\]

Plus précisément, \(P=(12X^2-11X+2)(X^2+X+2)=(3X-2)(4X-1)(X-\frac{-1+i\sqrt{7}}{2})(X-\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})\).

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