$0$ n’est pas racine de $P$ .

On rappelle que si $r=\frac{p}{q}$ , ( $p\in\Zz^*$ , $q\in\Nn^*$ , $p\wedge q=1$ ) est racine de $P$ , alors $p$ divise le coefficient constant de $P$ et $q$ divise son coefficient dominant. Ici, $p$ divise $4$ et $q$ divise $12$ et donc, $p$ est élément de $\{\pm1,\pm2,\pm4\}$ et $q$ est élément de $\{1,2,3,4,6,12\}$ ou encore $r$ est élément de $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3},\pm\frac{4}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{6},\pm\frac{1}{12}\}$ .

Réciproquement, on trouve $P(\frac{2}{3})=P(\frac{1}{4})=0$ . $P$ est donc divisible par

$12(X-\frac{2}{3})(X-\frac{1}{4})=(3X-2)(4X-1)=12X^2-11X+2.$

Plus précisément, $P=(12X^2-11X+2)(X^2+X+2)=(3X-2)(4X-1)(X-\frac{-1+i\sqrt{7}}{2})(X-\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})$ .

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