L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 5192

Soient K\Kk un sous-corps de C\Cc, EE un K\Kk-espace vectoriel de dimension finie nn et ff un endomorphisme de EE non injectif. Pour kk entier naturel donné, on pose Nk=KerfkN_k=\mbox{Ker}f^k et Ik=ImfkI_k=\mbox{Im}f^k (avec la convention f0=IdEf^0=Id_E).

1

Montrer que : ∀k∈N,  (Nk⊂Nk+1  et  Ik+1⊂Ik)\forall k\in\Nn,\;(N_k\subset N_{k+1}\;\mbox{et}\;I_{k+1}\subset I_k).

2

Montrer que : (∀k∈N,  (Nk=Nk+1⇒Nk+1=Nk+2)(\forall k\in\Nn,\;(N_k=N_{k+1}\Rightarrow N_{k+1}=N_{k+2}).

3

Montrer que : ∃p∈N/  ∀k∈N,  (k<p⇒Nk≠Nk+1  et  k≥p⇒Nk=Nk+1)\exists p\in\Nn/\;\forall k\in\Nn,\;(k<p\Rightarrow N_k\neq N_{k+1}\;\mbox{et}\;k\geq p\Rightarrow N_k=N_{k+1}).

4

Montrer que p≤np\leq n.

Exercice GocN

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