[exo:suprou10] Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\) non injectif. Pour \(k\) entier naturel donné, on pose \(N_k=\mbox{Ker}f^k\) et \(I_k=\mbox{Im}f^k\) (avec la convention \(f^0=Id_E\)).
1
Montrer que : \(\forall k\in\Nn,\;(N_k\subset N_{k+1}\;\mbox{et}\;I_{k+1}\subset I_k)\).
2
Montrer que : \((\forall k\in\Nn,\;(N_k=N_{k+1}\Rightarrow N_{k+1}=N_{k+2})\).
3
Montrer que : \(\exists p\in\Nn/\;\forall k\in\Nn,\;(k<p\Rightarrow N_k\neq N_{k+1}\;\mbox{et}\;k\geq p\Rightarrow N_k=N_{k+1})\).
4
Montrer que \(p\leq n\).