L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 3566

Soit EE un KK-ev de dimension nn. Soit u∈L(E)u\in\mathcal{L}(E), PP son polynôme minimal et pp le plus petit exposant de XX dans l’écriture de PP.

1

Si p=0p=0, que dire de uu ?

2

Si p=1p=1, montrer que E=ℑu⊕KeruE=\Im u \oplus \mathrm{Ker} u.

3

Dans le cas général, montrer que E=Kerup⊕ℑupE = \mathrm{Ker} u^p \oplus \Im u^p.

Exercice HBeI

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