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(Union/disjonction et intersection/conjonction de deux relations) Soient $\mathcal R$ et $\mathcal S$ deux relations sur $E$. On définit la disjonction (ou union), notée $\mathcal R \vee \mathcal S$, par : $$x (\mathcal R \vee \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ ou } x \mathcal S y)$$ De façon équivalente, le graphe de $\mathcal R \vee \mathcal S$ est l’union des graphes de $\mathcal R$ et de $\mathcal S$. De même, on définit la conjonction (ou intersection) $\mathcal R \wedge \mathcal S$ comme la relation dont le graphe est l’intersection des deux graphes de $\mathcal R$ et $\mathcal S$, c’est-à-dire $$x (\mathcal R \wedge \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ et } x \mathcal S y).$$

Si $\mathcal R$ et $\mathcal S$ sont des relations d’équivalence, montrer que $\mathcal R \wedge \mathcal S$ est une relation d’équivalence, mais pas forcément $\mathcal R \vee \mathcal S$.

(Note : on peut définir la conjonction ou la disjonction d’un nombre quelconque de relations, à l’aide de l’union ou de l’intersection des graphes associés.)