(Union/disjonction et intersection/conjonction de deux relations) Soient \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\) deux relations sur \(E\). On définit la disjonction (ou union), notée \(\mathcal R \vee \mathcal S\), par : \[x (\mathcal R \vee \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ ou } x \mathcal S y)\] De façon équivalente, le graphe de \(\mathcal R \vee \mathcal S\) est l’union des graphes de \(\mathcal R\) et de \(\mathcal S\). De même, on définit la conjonction (ou intersection) \(\mathcal R \wedge \mathcal S\) comme la relation dont le graphe est l’intersection des deux graphes de \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\), c’est-à-dire \[x (\mathcal R \wedge \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ et } x \mathcal S y).\]
Si \(\mathcal R\) et \(\mathcal S\) sont des relations d’équivalence, montrer que \(\mathcal R \wedge \mathcal S\) est une relation d’équivalence, mais pas forcément \(\mathcal R \vee \mathcal S\).
(Note : on peut définir la conjonction ou la disjonction d’un nombre quelconque de relations, à l’aide de l’union ou de l’intersection des graphes associés.)