Montrons par récurrence que, pour $n\geq2$ , $H_n$ peut s’écrire sous la forme $\frac{p_n}{q_n}$ où $q_n$ est un entier pair et $p_n$ est un entier impair (la fraction précédente n’étant pas nécessairement irréductible mais à coup sûr pas un entier). Pour $n=2$ , $H_2=\frac{3}{2}$ et $H_2$ est bien du type annoncé. Soit $n\geq2$ . Supposons que pour tout entier $k$ tel que $2\leq k\leq n$ , on ait $H_k=\frac{p_k}{q_k}$ où $p_k$ est un entier impair et $q_k$ est un entier pair et montrons que $H_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$ où $p_{n+1}$ est un entier impair et $q_{n+1}$ est un entier pair. (Recherche. L’idée $H_{n+1}=\frac{p_n}{q_n}+\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)p_n+q_n}{(n+1)q_n}$ ne marche à coup sur que si $(n+1)p_n+q_n$ est impair ce qui est assuré si $n+1$ est impair et donc $n$ pair)

1er cas. Si $n$ est pair, on peut poser $n=2k$ où $k\in\Nn^*$ . Dans ce cas, $H_{n+1}=\frac{(2k+1)p_n+q_n}{(2k+1)q_n}$ et $H_{n+1}$ est bien le quotient d’un entier impair par un entier pair.
2ème cas. Si $n$ est impair, on pose $n=2k-1$ où $k\geq2$ (de sorte que $2k-1\geq3$ ).

$\begin{align*} H_{n+1}&=\sum_{i=1}^{2k}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{2i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}\;\\ &(\mbox{en séparant les fractions de dénominateurs pairs des fractions de dénominateurs impairs})\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}=\frac{1}{2}H_k+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}. \end{align*}$

Maintenant, en réduisant au même dénominateur et puisque un produit de nombres impairs est impair, on voit que $\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}$ est du type $\frac{K}{2K'+1}$ où $K$ et $K'$ sont des entiers. Ensuite, puisque $2\leq k\leq2k-1=n$ , par hypothèse de récurrence, $H_k=\frac{p_k}{q_k}$ où $p_k$ est un entier impair et $q_k$ un entier pair. Après réduction au même dénominateur, on obtient

$H_{n+1}=\frac{p_k}{2q_k}+\frac{K}{2K'+1}=\frac{(2K'+1)p_k+2Kq_k}{2q_k(2K'+1)}.$

$2Kq_k$ est un entier pair et $(2K'+1)p_k$ est un entier impair en tant que produit de deux nombres impairs. Donc le numérateur est bien un entier impair et puisque $2qk(2K'+1)$ est un entier pair, $H_{n+1}$ est bien dans tous les cas de la forme désirée.

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq2$ , $H_n$ est le quotient d’un entier impair par un entier pair et donc n’est pas un entier.

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