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Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes d’équation respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, $(a,b)\neq(0,0)$, $(a',b')\neq(0,0)$. Soit $(\Delta)$ une droite. Montrer que $(D)$, $(D')$ et $(\Delta)$ sont concourantes si et seulement si il existe $(\Delta)$ a une équation cartésienne de la forme $\lambda(ax+by+c)+\mu(a'x+b'y+c')=0$, $(\lambda,\mu)\neq(0,0)$.

Equation cartésienne de la droite passant par le point $(1,0)$ et par le point d’intersection des droites d’équations respectives $5x+7y+1=0$ et $-3x+2y+1=0$

Pour $m\in\Rr$, on considère $(D_m)$ la droite d’équation $(2m-1)x+(m+1)y-4m-1=0$. Montrer que les droites $(D_m)$ sont concourantes en un point $A$ que l’on précisera. Toute droite passant par $A$ est-elle une droite $(D_m)$ ?