Pour $1\leq i\leq n$ , notons $s_i$ la symétrie centrale de centre $A_i$ . Le problème revient à trouver $n$ points $B_1$ ,..., $B_n$ tels que $B_2=s_1(B_1)$ , $B_3=s_2(B_2)$ ,..., $B_n=s_{n-1}(B_{n-1})$ , $B_n$ . Ceci équivaut à

$\forall i\in\{2,...,n\},\;B_i=s_{i-1}\circ s_{i-2}\circ...\circ s_1(B_1)\;\mbox{et}\;B_1=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1(B_1)\;(*).$

Posons alors $f=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1$ . $f$ est une composée de symétries centrales. Il y a donc deux cas. Si $n$ est pair, on peut regrouper les symétries deux par deux. $f$ est alors (d’après l’exercice [exo:suprou7bis]) une composée de translations et donc $f$ est une translation. Si $n$ est impair, $n-1$ est pair et donc la composée des $n-1$ premières symétries est une translation. Par suite, $f$ est la composée d’une translation et d’une symétrie centrale et est donc une symétrie centrale (d’après l’exercice [exo:suprou7bis]).

Maintenant, $(*)$ a une solution si et seulement si $f$ a un point invariant.

1er cas. Si $n$ est impair, $f$ étant une symétrie centrale, $f$ a un et un seul point invariant : son centre. Il existe donc un et un seul point $B_1$ vérfiant $B_1=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1(B_1)$ et finalement, un et un seul $n$ -uplet $(B_1,...,B_n)$ solution du problème posé.
2ème cas. Si $n$ est pair, $f$ est une translation. Si son vecteur est non nul, $f$ n’a pas de point invariant et le problème n’a pas de solution. Si son vecteur est nul, $f$ est l’identité et tout point est invariant par $f$ .

Déterminons le vecteur de $f$ . On pose $n=2p$ . On a alors

$f=s_{2p}\circ s_{2p-1}\circ...s_2\circ s_1=t_{2\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}}}\circ...\circ t_{2\overrightarrow{A_{1}A_{2}}}=t_{2(\overrightarrow{A_1A_2}+...+\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}})}.$

Quand $n=2p$ est pair, le problème posé a des solutions si et seulement si $\overrightarrow{A_1A_2}+...+\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}}=\overrightarrow{0}$ .

exo7 5202