Pour \(1\leq i\leq n\), notons \(s_i\) la symétrie centrale de centre \(A_i\). Le problème revient à trouver \(n\) points \(B_1\),..., \(B_n\) tels que \(B_2=s_1(B_1)\), \(B_3=s_2(B_2)\),...,\(B_n=s_{n-1}(B_{n-1})\), \(B_1=s_n(B_n)\). Ceci équivaut à

\[\forall i\in\{2,...,n\},\;B_i=s_{i-1}\circ s_{i-2}\circ...\circ s_1(B_1)\;\mbox{et}\;B_1=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1(B_1)\;(*).\]

Posons alors \(f=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1\). \(f\) est une composée de symétries centrales. Il y a donc deux cas. Si \(n\) est pair, on peut regrouper les symétries deux par deux. \(f\) est alors (d’après l’exercice [exo:suprou7bis]) une composée de translations et donc \(f\) est une translation. Si \(n\) est impair, \(n-1\) est pair et donc la composée des \(n-1\) premières symétries est une translation. Par suite, \(f\) est la composée d’une translation et d’une symétrie centrale et est donc une symétrie centrale (d’après l’exercice [exo:suprou7bis]).

Maintenant, \((*)\) a une solution si et seulement si \(f\) a un point invariant.

Si \(n\) est impair, \(f\) étant une symétrie centrale, \(f\) a un et un seul point invariant : son centre. Il existe donc un et un seul point \(B_1\) vérfiant \(B_1=s_n\circ s_{n-1}\circ...\circ s_1(B_1)\) et finalement, un et un seul \(n\)-uplet \((B_1,...,B_n)\) solution du problème posé.
Si \(n\) est pair, \(f\) est une translation. Si son vecteur est non nul, \(f\) n’a pas de point invariant et le problème n’a pas de solution. Si son vecteur est nul, \(f\) est l’identité et tout point est invariant par \(f\).

Déterminons le vecteur de \(f\). On pose \(n=2p\). On a alors

\[f=s_{2p}\circ s_{2p-1}\circ...s_2\circ s_1=t_{2\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}}}\circ...\circ t_{2\overrightarrow{A_{1}A_{2}}}=t_{2(\overrightarrow{A_1A_2}+...+\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}})}.\]

Quand \(n=2p\) est pair, le problème posé a des solutions si et seulement si \(\overrightarrow{A_1A_2}+...+\overrightarrow{A_{2p-1}A_{2p}}=\overrightarrow{0}\).

exo7 5202