Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : \(S=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .\)
Calculer \(\hbox{det }(S) .\) Déterminer (de préférence sans calcul) \(S^{-1} .\)
Montrer qu’il existe deux sous espaces vectoriels \(E_1\) et \(E_2\) de \({\Rr }^5\) de dimension respective \(2\) et \(3\) tels que : \({\Rr }^5=E_1 \oplus E_2 \oplus E_3\) et \(S(E_1) \subset E_1\) \(S(E_2) \subset E_2 .\)
Montrer qu’il existe \(x \in E_2\) tels que \(Sx= x .\) En déduire que la décomposition qui précéde n’est pas unique.