L2 Analyse Série entière Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 4600

On pose f(x)=∑n=0∞xn(C2nnf(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}.

1

Déterminer le rayon de convergence et montrer que ff vérifie l’équation : x(4−x)y′−(x+2)y=−2x(4-x)y' - (x+2)y = -2.

2

Résoudre l’équation précédente pour x>0x > 0 (utiliser le DL de ff en 0 à l’ordre 1 pour fixer la constante) et en déduire la somme de la série ∑n=0∞1(C2nn\sum_{n=0}^\infty \frac 1{\strut C_{2n}^n}.

Exercice JIgi

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