[exo:suprou7] Calculer les sommes suivantes :
1
(**) \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\) et \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\)
2
(***) Calculer \(S_p=\sum_{k=1}^{n}k^p\) pour \(n\in\Nn^*\) et \(p\in\{1,2,3,4\}\) (dans chaque cas, chercher un polynôme \(P_p\) de degré \(p+1\) tel que \(P_p(x+1)-P_p(x)=x^p\)).
3
(**) Calculer \(\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{1}{k^2+k+1}\) (aller relire certaines formules établies dans une planche précédente).
4
(**) Calculer \(\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{2}{k^2}\).