Notons \(V_n\) le déterminant à calculer et \(C_1,\ldots,C_n\) les colonnes de la matrice correspondante.

Nous allons faire les opérations suivantes sur les colonnes en partant de la dernière colonne. \(C_n\) est remplacée par \(C_n-t_n C_{n-1}\), puis \(C_{n-1}\) est remplacée par \(C_{n-1}-t_n C_{n-2}\),... jusqu’à \(C_2\) qui est remplacée par \(C_2-t_nC_1\). On obtient donc

\[V_n=\begin{vmatrix} 1 & t_1 & t_1^2 & \ldots & t_1^{n-1} \\ 1 & t_2 & t_2^2 & \ldots & t_2^{n-1} \\\ \ldots&\ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \ldots & t_n^{n-1} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & t_1-t_n & t_1^2-t_1t_n & \ldots & t_1^{n-1}-t_1^{n-2}t_n \\ 1 & t_2-t_n & t_2^2-t_2t_n & \ldots & t_2^{n-1}-t_2^{n-2}t_n \\\ \ldots&\ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{vmatrix}\]

On développe par rapport à la dernière ligne et on écrit \(t_i^k-t_i^{k-1}t_n=t_i^{k-1}(t_i-t_n)\) pour obtenir : \[V_n = (-1)^{n-1}\begin{vmatrix} t_1-t_n & t_1(t_1-t_n) & \ldots & t_1^{n-2}(t_1-t_n) \\ t_2-t_n & t_2(t_2-t_n) & \ldots & t_2^{n-2}(t_2-t_n) \\\ \ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ t_{n-1}-t_n & \ldots & \ldots & \ldots \end{vmatrix}\]

Nous utilisons maintenant la linéarité du déterminant par rapport à chacune des lignes : on factorise la première ligne par \(t_1-t_n\) ; la second par \(t_2-t_n\),... On obtient \[V_n = (-1)^{n-1}(t_1-t_n)(t_2-t_n)\cdots(t_{n-1}-t_n) \begin{vmatrix} 1 & t_1 & t_1^2 & \ldots & t_1^{n-2} \\ 1 & t_2 & t_2^2 & \ldots & t_2^{n-2} \\\ \ldots&\ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ 1 & t_{n-1} & t_{n-1}^2 & \ldots & t_{n-1}^{n-2} \end{vmatrix}\] Donc \[V_n = V_{n-1}\prod_{j=1}^{n-1}(t_n-t_j).\]

Si maintenant on suppose la formule connue pour \(V_{n-1}\) c’est-à-dire \(V_{n-1}(t_1,\ldots,t_{n-1}) = \prod_{1 \le i < j \le n-1} (t_j - t_i)\)

Alors on obtient par récurrence que \[V_n(t_1,\ldots,t_{n-1},t_n)= V_{n-1}(t_1,\ldots,t_{n-1})\prod_{j=1}^{n-1}(t_n-t_j) = \prod_{1 \le i < j \le n} (t_j - t_i).\]

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