Soit $x\in\Rr$ . La fonction $t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)$ est continue sur $[0,+\infty[$ . Quand $t$ tend vers $+\infty$ , $e^{-t^2}\ch(tx)=\frac{1}{2}(e^{-t^2+tx}+e^{-t^2-tx})=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ d’après un théorème de croissances comparées et donc la fonction $t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ . Pour $x\in\Rr$ , on peut poser $f(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt$ .

Calcul de $f(x)$ . Soit $A>0$ . On pose $\begin{array}{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,+\infty[&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&e^{-t^2}\ch(tx) \end{array}$ .

Pour chaque $x\in[-A,A]$ , la fonction $t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)$ est continue par morceaux et intégrable sur $[0,+\infty[$ .

La fonction $\Phi$ admet sur $[-A,A]\times[0,+\infty[$ une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par :

$\forall(x,t)\in[-A,A]\times[0,+\infty[$ , $\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=te^{-t^2}\sh(tx)$ .

De plus,

- pour chaque $x\in[-A,A]$ , la fonction $t\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ ,

-pour chaque $t\in[0,+\infty[$ , la fonction $x\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $[-A,A]$ ,

- pour chaque $(x,t)\in[-A,A]\times[0,+\infty[$ ,

$\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|=te^{-t^2}|\sh(tx)|\leqslant te^{-t^2}\sh(t|A|)=\varphi(t)$ .

La fonction $\varphi$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ et intégrable sur $[0,+\infty[$ car négligeable devant $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ .

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction $f$ est de classe $C^1$ sur $[-A,A]$ et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réel $A>0$ , la fonction $f$ est de classe $C^1$ sur $\Rr$ et

$\forall x\in\Rr$ , $f'(x)=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt$ .

Soit $x\in\Rr$ . On effectue maintenant une intégration par parties. Soit $A>0$ . Les deux fonctions $t\mapsto te^{-t^2}$ et $t\mapsto\sh(tx)$ sont de classe $C^1$ sur le segment $[0,A]$ . On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

$\int_{0}^{A}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt=\left[-\frac{1}{2}e^{-t^2}\sh(tx)\right]_0^A+\frac{x}{2}\int_{0}^{A}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt=-\frac{1}{2}e^{-A^2}\sh(tA)+\frac{x}{2}\int_{0}^{A}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt$ .

Quand $A$ tend vers $+\infty$ , on obtient $f'(x)=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt=\frac{x}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt=\frac{x}{2}f(x)$ .

Ensuite, pour tout réel $x$ , $e^{-x^2/4}f'(x)-\frac{x}{2}e^{-x^2/4}f(x)=0$ ou encore $(e^{-x^2/4}f)'(x)=0$ . On en déduit que $\forall x\in\Rr$ , $e^{-x^2/4}f(x)=e^0f(0)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ et donc que $\forall x\in\Rr$ , $f(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2/4}$ .

$\forall x\in\Rr$ , $\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2/4}$ .

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