Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)\) est continue sur \([0,+\infty[\). Quand \(t\) tend vers \(+\infty\), \(e^{-t^2}\ch(tx)=\frac{1}{2}(e^{-t^2+tx}+e^{-t^2-tx})=o\left(\frac{1}{t^2}\right)\) d’après un théorème de croissances comparées et donc la fonction \(t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)\) est intégrable sur \([0,+\infty[\). Pour \(x\in\Rr\), on peut poser \(f(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\).

Calcul de \(f(x)\). Soit \(A>0\). On pose \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,+\infty[&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&e^{-t^2}\ch(tx) \end{array}\).

Pour chaque \(x\in[-A,A]\), la fonction \(t\mapsto e^{-t^2}\ch(tx)\) est continue par morceaux et intégrable sur \([0,+\infty[\).

La fonction \(\Phi\) admet sur \([-A,A]\times[0,+\infty[\) une dérivée partielle par rapport à sa première variable définie par :

\(\forall(x,t)\in[-A,A]\times[0,+\infty[\), \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=te^{-t^2}\sh(tx)\).

De plus,

- pour chaque \(x\in[-A,A]\), la fonction \(t\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) est continue par morceaux sur \([0,+\infty[\),

-pour chaque \(t\in[0,+\infty[\), la fonction \(x\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) est continue sur \([-A,A]\),

- pour chaque \((x,t)\in[-A,A]\times[0,+\infty[\),

\(\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|=te^{-t^2}|\sh(tx)|\leqslant te^{-t^2}\sh(t|A|)=\varphi(t)\).

La fonction \(\varphi\) est continue par morceaux sur \([0,+\infty[\) et intégrable sur \([0,+\infty[\) car négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([-A,A]\) et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réel \(A>0\), la fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) et

\(\forall x\in\Rr\), \(f'(x)=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt\).

Soit \(x\in\Rr\). On effectue maintenant une intégration par parties. Soit \(A>0\). Les deux fonctions \(t\mapsto te^{-t^2}\) et \(t\mapsto\sh(tx)\) sont de classe \(C^1\) sur le segment \([0,A]\). On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

\(\int_{0}^{A}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt=\left[-\frac{1}{2}e^{-t^2}\sh(tx)\right]_0^A+\frac{x}{2}\int_{0}^{A}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt=-\frac{1}{2}e^{-A^2}\sh(tA)+\frac{x}{2}\int_{0}^{A}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\).

Quand \(A\) tend vers \(+\infty\), on obtient \(f'(x)=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sh(tx)\;dt=\frac{x}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt=\frac{x}{2}f(x)\).

Ensuite, pour tout réel \(x\), \(e^{-x^2/4}f'(x)-\frac{x}{2}e^{-x^2/4}f(x)=0\) ou encore \((e^{-x^2/4}f)'(x)=0\). On en déduit que \(\forall x\in\Rr\), \(e^{-x^2/4}f(x)=e^0f(0)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) et donc que \(\forall x\in\Rr\), \(f(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{x^2/4}\).

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