Notons \(\ell\) la limite de \(f\) en \(+\infty\): \[\forall \epsilon > 0 \quad \exists A \in \Rr \quad x>A \Rightarrow \ell - \epsilon \leq f(x) \leq \ell + \epsilon.\] Fixons \(\epsilon = +1\), nous obtenons un \(A\) correspondant tel que pour \(x>A\), \(\ell - 1 \leq f(x) \leq \ell +1\). Nous venons de montrer que \(f\) est bornée “à l’infini”. La fonction \(f\) est continue sur l’intervalle fermé borné \([0,A]\), donc \(f\) est bornée sur cet intervalle: il existe \(m,M\) tels que pour tout \(x\in [0,A]\), \(m \leq f(x) \leq M\). En prenant \(M' = \max (M,\ell+1)\), et \(m' = \min(m,\ell-1)\) nous avons que pour tout \(x\in \Rr\), \(m' \leq f(x) \leq M'\). Donc \(f\) est bornée sur \(\Rr\).

La fonction n’atteint pas nécessairement ses bornes: regardez \(f(x) = \frac{1}{1+x}\).

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