L1 Analyse Continuité, limite et étude de fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 3877

Soit f:R→Rf : {\R} \to {\R} une fonction bornée.

On note E={g:R→R croissantes tq g≤f}{\cal E} = \{g : \R \to \R \text{ croissantes tq } g \le f \}, et pour x∈Rx\in\R : f~(x)=sup⁡{g(x) tq g∈E}\tilde f(x) = \sup\{ g(x) \text{ tq } g \in {\cal E} \}.

1

Montrer que f~∈E\tilde f \in {\cal E}.

2

On suppose ff continue. Montrer que f~\tilde f est aussi continue.

(S’il existe un point x0∈Rx_0 \in \R tel que lim⁡x→x0−f~(x)<lim⁡x→x0+f~(x)\lim_{x\to x_0^-} \tilde f(x) < \lim_{x\to x_0^+} \tilde f(x), construire une fonction de E\cal E supérieure à f~ \tilde f\,)

Exercice aNJ0

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