Soit \(f : {\R} \to {\R}\) une fonction bornée.
On note \({\cal E} = \{g : \R \to \R \text{ croissantes tq } g \le f \}\), et pour \(x\in\R\) : \(\tilde f(x) = \sup\{ g(x) \text{ tq } g \in {\cal E} \}\).
1
Montrer que \(\tilde f \in {\cal E}\).
2
On suppose \(f\) continue. Montrer que \(\tilde f\) est aussi continue.
(S’il existe un point \(x_0 \in \R\) tel que \(\lim_{x\to x_0^-} \tilde f(x) < \lim_{x\to x_0^+} \tilde f(x)\), construire une fonction de \(\cal E\) supérieure à \(\tilde f\,\))