Soit la fonction \(f: \R^2 \to \R\), \[(x,y) \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{ si } (x,y) = (0,0) \end{array} \right.\]
1
Pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), on passe en coordonnées polaires en posant \(x=r\cos(\theta)\) et \(y=r\sin(\theta)\) avec \((r,\theta) \in [0;+\infty[ \times [0;2\pi[\) .
Vérifier que \[|f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))| \leq 2r^2\]
2
Peut-on conclure que la fonction \(f\) est continue en \((0,0)\) ? Justifier.
3
Calculer \(\dpa{f}{x}(x,y)\) et \(\dpa{f}{y}(x,y)\) pour tout \((x,y) \neq (0,0)\).
4
Calculer \(\dpa{f}{x}(0,0)\) et \(\dpa{f}{y}(0,0)\)