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Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0,\pi]$ dans $\R$ telle que $f(0) = f(\pi) = 0$. Montrer que $\int_0^\pi f^2 \le \int_0^\pi f'^2$.

Indication : prolonger $f$ en une fonction impaire $2\pi$-périodique.

Soit une fonction $q$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,\pi]$, à valeurs dans $]-\infty,1[$. Montrer que l’unique fonction $x$ de classe $\mathcal{C}^2$ s’annulant en $0$ et en $\pi$ et vérifiant l’équation différentielle $x''(t) + q(t)x(t) = 0$ est la fonction nulle.

Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,\pi]$ et deux réels $a,b$ fixés. Montrer qu’il existe une unique solution $x$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant $x(0) = a$, $x(\pi) = b$ et $x''(t) + q(t)x(t) = f(t)$.