Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de \([0,\pi]\) dans \(\R\) telle que \(f(0) = f(\pi) = 0\). Montrer que \(\int_0^\pi f^2 \le \int_0^\pi f'^2\).
Indication : prolonger \(f\) en une fonction impaire \(2\pi\)-périodique.
Soit une fonction \(q\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,\pi]\), à valeurs dans \(]-\infty,1[\). Montrer que l’unique fonction \(x\) de classe \(\mathcal{C}^2\) s’annulant en \(0\) et en \(\pi\) et vérifiant l’équation différentielle \(x''(t) + q(t)x(t) = 0\) est la fonction nulle.
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,\pi]\) et deux réels \(a,b\) fixés. Montrer qu’il existe une unique solution \(x\) de classe \(\mathcal{C}^2\) vérifiant \(x(0) = a\), \(x(\pi) = b\) et \(x''(t) + q(t)x(t) = f(t)\).